摘要： 在平面直角坐标系xOy中.点P到点F(3.0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d.当P点运动时.d恒等于点P的横坐标与18之和 21世纪教育网 (Ⅰ)求点P的轨迹C, (Ⅱ)设过点F的直线I与轨迹C相交于M.N两点.求线段MN长度的最大值. 解.则3︳x-2︳ 由题设 当x>2时.由①得 化简得 21世纪教育网 当时 由①得 化简得 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线.参见图1 (Ⅱ)如图2所示.易知直线x=2与.的交点都是A(2.). B(2.).直线AF.BF的斜率分别为=.=. 当点P在上时.由②知 . ④21世纪教育网 当点P在上时.由③知 ⑤ 若直线l的斜率k存在.则直线l的方程为 (i)当k≤.或k≥.即k≤-2 时.直线I与轨迹C的两个交点M(.).N(.)都在C 上.此时由④知 ∣MF∣= 6 - ∣NF∣= 6 - 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 - )+ (6 - )=12 - ( +) 由 得 则.是这个方程的两根.所以+=*∣MN∣=12 - (+)=12 - 因为当 当且仅当时.等号成立. (2)当时.直线L与轨迹C的两个交点 分别在上.不妨设点在上.点上.则④⑤知. 设直线AF与椭圆的另一交点为E 所以.而点A.E都在上.且 有(1)知 若直线的斜率不存在.则==3.此时 综上所述.线段MN长度的最大值为

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