27.(2009陕西卷理)(本小题满分12分)

已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。

(I)求双曲线C的方程；　　　 　　　　　　　　　　　　　　

(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。　　

26.(2009陕西卷文)(本小题满分12分)

已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。21世纪教育网　 　

(I)　　　　　　 求双曲线C的方程；

(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。

解析：

解法1(Ⅰ)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)到渐近线，

所以所以

由

所以曲线的方程是

(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线C的两条渐近线方程为

设

由

将P点的坐标代入

因为

又

所以

记

则

由

又S(1)=2，

当时，面积取到最小值，当当时，面积取到最大值

所以面积范围是

解答2(Ⅰ)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)到渐近线，

由

所以曲线的方程是.

(Ⅱ)设直线AB的方程为

由题意知

由

由

将P点的坐标代入得

设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0，m)

=

以下同解答1

25.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)

　 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 　　　　

解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得

， 　　

所以椭圆的标准方程为 　　　　

(Ⅱ)设，其中。由已知及点在椭圆上可得

。

整理得，其中。

(i)时。化简得 　　　

所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。

(ii)时，方程变形为，其中

当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；

24.(2009辽宁卷理)(本小题满分12分)

已知，椭圆C过点A，两个焦点为(－1，0)，(1，0)。

(3)　　　 求椭圆C的方程； 　　　　

(4)　　　 E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

(20)解：

(Ⅰ)由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，(舍去)

所以椭圆方程为。　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………4分

(Ⅱ)设直线AE方程为：，代入得

　设,,因为点在椭圆上，所以

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　………8分

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-K代K，可得

所以直线EF的斜率

即直线EF的斜率为定值，其值为。　　　　　　　　　 ……12分

23.(2009辽宁卷文)(本小题满分12分)

已知，椭圆C以过点A(1，)，两个焦点为(－1，0)(1，0)。

(1)　　　 求椭圆C的方程；

(2)　　　 E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 　　　　　

(22)解：(Ⅰ)由题意，c＝1,可设椭圆方程为。 　　　　　

因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝(舍去)。

所以椭圆方程为　 ．　　 　　　　　　　　．．．．．．4分

(Ⅱ)设直线AE方程：得，代入得 　　　　　

设E(，)，F(，)．因为点A(1，)在椭圆上，所以

， 　　　　　

。　　　　　　　　　　　　．．．．．．．8分

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得

， 　　　　　

。

所以直线EF的斜率。

即直线EF的斜率为定值，其值为。　　　　　　　　 　　　　 ．．．．．．．12分

19.[解析]

解法一：

(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.

(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.

又AB=2,故在△SAE中,有

　(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,

(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SB为直线的圆上,故.

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.

由

设点

故,从而.

亦即

由得

由,可得即

经检验,当时,O,M,S三点共线.　　 故存在,使得O,M,S三点共线.

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SO为直径的圆上,故.

显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为

由

设点,则有

故

由所直线SM的方程为

O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.

故存在,使得O,M,S三点共线.

22.(2009福建卷理)(本小题满分13分)

已知A,B 分别为曲线C： +=1(y0,a>0)与x轴

的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上

异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；

(II)如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。　 　　　　　　　　　　　　　　　　

21.(2009湖南卷文)(本小题满分13分)

　 已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点

为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q).

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内(包括边界)时，求直线的斜率的取值范围。

解: (Ⅰ)依题意，设椭圆C的方程为焦距为，

由题设条件知， 所以

　　　　　 故椭圆C的方程为　　 .

(Ⅱ)椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，

显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。　　　 　　　　　

　　 如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，

　　　 由得.　　　　　 ……①

由解得.　　 ……②

因为是方程①的两根，所以，于是

　　　　　　 =，　　 .

因为，所以点G不可能在轴的右边，

又直线,方程分别为

所以点在正方形内(包括边界)的充要条件为

　即　 亦即　　　 　　　　　

解得，此时②也成立. 21世纪教育网　 　

故直线斜率的取值范围是

20.(2009全国卷Ⅱ理)(本小题满分12分)

　 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 　　　　　　

　 (I)求，的值；

　 (II)上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。

解:(I)设，直线，由坐标原点到的距离为

　则，解得 .又.

(II)由(I)知椭圆的方程为.设、

由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设

代入椭圆的方程中整理得，显然。

由韦达定理有：．．．．．．．．①

.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：

点，点P在椭圆上，即。

整理得。 　　　　　　　

又在椭圆上，即.

故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

将及①代入②解得

,=,即.

当;

当.

评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。

19.(2009四川卷文)(本小题满分12分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为。

(I)求椭圆的标准方程；

(II)过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。

[解析](I)由已知得，解得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴

∴ 所求椭圆的方程为　　　　　 …………………………………4分

(II)由(I)得、

①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得

设、， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴ ，这与已知相矛盾。

②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，

设、，

联立，消元得

∴　 ，

∴　 ， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　21世纪教育网　 　

又∵

∴　

∴　

化简得

解得

∴　

∴　 所求直线的方程为　　 …………………………………12分