23．[解法一](1)由，得，　　　　　　　　 ．．．．．．2分

整理后，可得，、，为整数，　

不存在、，使等式成立。　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．5分

(2)若，即，　　　　　　　　　　　　 (*)

(ⅰ)若则。　

当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。　　　　　　 ．．．．．．7分

(ⅱ)若，(*)式等号左边取极限得，(*)式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，，矛盾。

综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分

[解法二]设　

则

(i) 若d=0，则　

(ii) 若(常数)即，则d=0，矛盾

综上所述，有，　　　 10分

(3)　

设.

，

.　　　　　　　 13分

取　　 15分

由二项展开式可得正整数M_1、M₂，使得(4-1)^2s+2=4M₁+1,

故当且仅当p=3^s,sN时，命题成立.

说明：第(3)题若学生从以下角度解题，可分别得部分分(即分步得分)

若p为偶数，则a_m+1+a_m+2+……+a_m+p为偶数，但3^k为奇数

故此等式不成立，所以，p一定为奇数。

当p=1时，则a_m+1=b_k,即4m+5=3^k，

而3^k=(4-1)^k

=

当k为偶数时，存在m，使4m+5＝3^k成立　 　　　　　　　　　　　1分

当p=3时，则a_m+1+a_m+2+a_m+3=b_k,即3a_m+2-b_k,　

也即3(4m+9)=3^k,所以4m+9=3^k-1,4(m+1)+5=3^k-1

由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m,　 4m+9=3^k成立　　　 2分

当p=5时，则a_m+1+a_m+2+……+a_m+5=b_k,即5a_m+3=b_k

也即5(4m+13)=3^k,而3^k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在

故不是所有奇数都成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。

(1) 若，是否存在，有说明理由；　 　

(2) 找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；

(3) 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。

22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

　　 已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。

(1) 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；　 　

(2) 求所有满足“2和性质”的一次函数；

(3) 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。

22(1)解，函数的反函数是

而其反函数为　

故函数不满足“1和性质”

(2)设函数满足“2和性质”，

…….6分

而得反函数………….8分

由“2和性质”定义可知=对恒成立

即所求一次函数为………..10分　

(3)设，，且点在图像上，则在函数图象上，

故，可得，　　　　　　 ．．．．．．12分

，　 　　　　　

令，则。，即。　　 ．．．．．．14分

综上所述，，此时，其反函数就是，

而，故与互为反函数 。　　　　　　 ．．．．．．16分

21.(1)双曲线C的渐近线

直线l的方程………………..6分　 　　　　　

直线l与m的距离……….8分　

(2)设过原点且平行与l的直线

则直线l与b的距离

当 　 　　　　　

又双曲线C的渐近线为　

双曲线C的右支在直线b的右下方，

双曲线右支上的任意点到直线的距离为。

故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。

[ 证法二] 双曲线的右支上存在点到直线的距离为，

则

由(1)得，　

设　

当，0………………………………..13分

将　 代入(2)得　　　 (*)

方程(*)不存在正根，即假设不成立　 　　　　　

故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为…………….16分

21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。

　　 已知双曲线设过点的直线l的方向向量　 　

(1) 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；

(2) 证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。

19(本题满分14分)

如图，在直三棱柱中，,

,求二面角的大小。　 　

19，[解]如图，建立空间直角坐标系

则A(2，0，0)、　　 C(0，2，0)　　　 A1(2，0，2)，

B1(0，0，2) 、C1(0，2，2)　　　　　　　　 ……2分

设AC的中点为M，∵BM⊥AC,　 BM⊥CC1;

∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。……5分

设平面的一个法向量是　　　　　　　 =(x，y，z)，

　=(-2，2，-2)，　　　 　=(-2，0，0)　　　 　　……7分

设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角

…………………….14分

20(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

有时可用函数

描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数()，表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。

(1) 证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；

(2) 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。

20.证明(1)当

而当，函数单调递增，且>0……..3分

故单调递减　

当，掌握程度的增长量总是下降……………..6分

(2)由题意可知0.1+15ln=0.85……………….9分

整理得

解得…….13分

由此可知，该学科是乙学科……………..14分　 　　　　　

18、[答案]B

[解析]由已知，得：，第II，IV部分的面积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。

18.过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分(如图)，若这四部分图形面积满足则直线AB有(　 )

(A) 0条　　 (B) 1条　　 (C)　 2条　　 (D) 3条

17、[答案]D 　 　　　　　

[解析]根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.

17.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是

(A)甲地：总体均值为3，中位数为4　　 (B)乙地：总体均值为1，总体方差大于0　　　

(C)丙地：中位数为2，众数为3　　　　 (D)丁地：总体均值为2，总体方差为3