例1 解关于x的不等式　

解：原不等式等价于　 　即 　

∴

若a>1 ，

若0<a<1 ，

例2 解关于x的不等式

解：原不等式可化为，即

当m>1时， 　　　∴

当m=1时，　 　　∴xÎφ

当0<m<1时， 　　　∴

当m≤0时， 　x<0

例3 解关于x的不等式

解：原不等式等价于

当即时，　

∴

当即时，　 　　∴x¹-6

当即时，　　 xÎR

例4　 解关于x的不等式　

解：当即qÎ(0,)时， 　　∴x>2或x<1

当即q=时，　 xÎφ

当即qÎ(,)时， 　　∴1<x<2

例5 　满足的x的集合为A；满足的x的集合为B

1° 若AÌB　 求a的取值范围；　 　　　

2° 若AÊB　 求a的取值范围； 　　

3° 若A∩B为仅含一个元素的集合，求a的值

解：A=[1,2] ， B={x|(x-a)(x-1)≤0}

当a≤1时，　 B=[a,1]　　　　　 当a>1时 B=[1,a]

当a>2时，　 AÌB

当1≤a≤2时，　 AÊB

当a≤1时，　 A∩B仅含一个元素

例6 方程有相异两实根，求a的取值范围

解：原不等式可化为　 　

令 　则，设　　

又∵a>0 ∴

　笔者认为，高考英语作文的主题越来越接近生活这是一个必然的趋势，这种趋势的目的是使考生将英语学习融入到生活中去，而不仅仅是脱离生活的、机械的学习，这也是应对中国学生在英语方面突出的“高分低能”的缺点的有效手段之一。

　趋势2：英语作文的“语文化”

　从上文中可以看出，高考英语作文这种从生活切入的主题似乎大大降低了其难度。但事实真的是这样吗？笔者对此持保留意见。虽然此类描述性的题目可以让学生更“有话可写”，可是我们必须注意到上述几乎所有的题目都有两个要求，描写只是其中的第一个要求，在我们看来那只是一个引子，仅仅是几句话带过的“述题”部分。而重头戏是后面的第二个要求，那才是评判作文质量的关键所在。还是以07年的高考为例，它要求在描写送出的礼物和所送的对象之后，还要写出该礼物对他(她)可能产生的影响或带来的变化。这就要求考生所描写的礼物对于接受礼物的人是有意义的，自然地，如果需要得到一个较高的分数，就要求考生在描写的背后揭示出具有一定深意的主题。再来看05年的高考，这次是要求以“天生我材必有用”为题。很明显，文章要求考生描写自己曾经做过的一件事情，从而证明人各有所长，无论才能大小都能成为有用的人。这就要求考生在选题上要花上一番心思，文章所描写的事情必须为文章的主题服务。尽量是一件小事，但是从这件小事上能够有“以小见大”的效果。所以说，虽然文章的主题和生活都是密切相关的，而且文章的素材也都是来源于生活的，可是考生在选题和文章的组织结构上必须多花些心思，这是不是同我们在处理高考中语文的作文题时的情形一样呢？

　趋势3：及格容易，高分难

　以前的英语作文，如果达到了要求的字数、基本无语法错误、思路清晰、表达及过渡流畅，一般达到这些要求，就能进入至少“中上”的档次。但是，描述性的文章不同于考生们平时常常接触到的议论文，它没有能够套用的固定模式，取而代之的是它对考生在文章结构的组织上提出更高的要求。因为一篇高考作文应该控制在120－150字之间，那么考生如何合理地安排呢？如果描述部分过多而忽略了中心的挖掘的话，那只能算是一篇“没有灵魂”的文章。因此，这里就要考验考生的概括和表达能力了，如何既做到“言简意赅”又能够表达清楚到位，这显然是比以前议论文一两句话的“述题”更为艰巨的任务。

　另外，要想取得高分，还要求考生能够考虑那些别人想不到的主题。因为这里的描写可能会出现许许多多相近的表达，因此如果文章没有能够“脱颖而出”的地方，所得到的分数自然也比较普通。故要想取得高分，考生就要注重对于文章主题的挖掘，要让阅卷的老师看到你思想的光芒，发现你文章的闪光点。这些都是死板的模板、千篇一律的范文和单纯的描写所不能做到的。

23．已知函数f (x)＝(x－1), 数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列(q∈R, q≠1, q≠0),

若＝f (d－1), ＝f (d+1), ＝f (q－1), ＝f (q+1),

　 (1) 求数列{}, {}的通项公式；

　 (2) 设数列{}对任意的自然数n均有

成立，求+++……+的值

　 解：(1) ＝f (d－1)＝(d－2), ＝f (d+1)＝d,

∴ －＝2d, 即d－(d－2)＝2d,

解得d＝2, ∴ ＝0, ＝2(n－1),

　 又＝f (q－1)＝(q－2), ＝f (q+1)＝q,　 ＝q,

∴ ＝q,

　 ∵q ≠1, ∴ q＝3, ∴＝1, ＝3

　 (2) 设＝(n∈N), 数列{}的前n项和为,

则＝＝2n, ＝＝2(n－1),　

　∴－＝2, 即＝2, ∴ ＝2＝2·3

　 ∴+++……+

＝2+2·3+……+2·3＝＝,

2．已知等差数列{}的前n项和为，＝, 且＝,+＝21, (1) 求数列{b_n}的通项公式；(2) 求证：+++……+<2.

　 解：(1)设等差数列{}的首项为, 公差为d,则＝(+2d)·＝,

　 +＝8+13d＝21, 解得 ＝1, d＝1,

　 ∴ ＝n, ＝, ＝;

　 (2) +++……+

＝2·[(1－)+(－)+……+()]<2.

1．已知, a, , …, , …构成一等差数列，其前n项和为＝n, 设＝, 记{}的前n项和为, (1) 求数列{}的通项公式；(2) 证明：<1.

　 解：(1) ＝＝1, 当n≥2时, ＝－＝2n－1;

由于n＝1时符合公式，∴ ＝2n－1 (n≥1).

　 (2) ＝,

∴ ＝,

　 两式相减得

＝+＝+(1－)－,

　 ∴ ＝+(1－)－<1,

2.由1.得{}是等比数列　　 a=0.2 ,　　 q=

　 例3在等比数列中，，求的范围

解：∵，∴

又∵，且，∴，

∴解之：

当时，，∴

(∵)

当时，，

∵且必须为偶数

∴，(∵)

例4 设{}, {}都是等差数列，它们的前n项和分别为, , 已知,求⑴；⑵

　⑴ 解法1：＝＝

＝.

⑴解法2：∵{}, {}都是等差数列

∴可设＝kn(5n+3), =kn(2n-1)

∴=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),

　 =-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),

∴==

⑵解：由⑴解法2，有

=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),

　 =-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),

　　　　 ∴＝k5(105-2)=240k

　　　　　 ＝k8(48-3)=232k

　　　　 ∴ =

例5设等差数列{}的前n项和为,

(1)　 如果a＝9, S＝40, 问是否存在常数c，使数列{}成等差数列；

(2)　 如果＝n－6n, 问是否存在常数c，使得＝对任意自然数n都成立

　 解：(1) 由a＝9, S＝40, 得a＝7, d＝2,

∴ ＝2n+5, ＝n²+6n, ＝

　 ∴ 当c＝9时, ＝n+3是等差数列；

　 (2) ＝对任意自然数n都成立，

等价于{}成等差数列,

由于＝n－6n

∴＝,

即使c＝9, ＝|n－3|, 也不会成等差数列，

因此不存在这样的常数c使得＝对任意自然数n都成立

例1 在△ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证△ABC为正三角形

　 证：由题设，且　

∴

　　　　 ∴　 即 　从而　

∴ (获证)

例2 从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，

问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？

2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？

解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{}，则：

　　　 a= 0.2 kg ,　 a=×0.2 kg ,　　 a= ()×0.2 kg

　　　 由此可见：= ()×0.2 kg ,　

= ()×0.2= ()×0.2=0.0125 kg

23. (金华卷,本题10分)

已知点P的坐标为(m，0)，在x轴上存在点Q(不与P点重合)，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y = 的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M₁在第二象限.

(1)如图所示，若反比例函数解析式为y= ，P点坐标为(1， 0)，图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ₁M₁N₁，并写出点M₁的坐标；

(温馨提示：作图时，别忘

了用黑色字迹的钢笔或签字

笔描黑喔！)

M₁的坐标是　　 ▲　　　

　　　　　 　 (2) 请你通过改变P点坐标，对直线M₁ M的解析式y﹦kx+b进行探究可得 k﹦　 ▲　 ，　　 若点P的坐标为(m，0)时，则b﹦　 ▲　 ；

　　　　　　 (3) 依据(2)的规律，如果点P的坐标为(6，0)，请你求出点M₁和点M的坐标．

2.(2010年山东省济南市)如图,已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4.　　　　　　　

(1)求k的值；

(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

(3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点(P点在第一象限)，若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

[关键词]反比例函数

[答案]

(1)∵点A横坐标为4 ，　

∴当 x = 4时，y = 2

∴ 点A的坐标为(4，2 ) …………2’　　　　　　　　　　　　　　　　

∵点A是直线与双曲线(k>0)的交点，

∴ k = 4×2 = 8　 ………….3’

(2)解法一：

∵ 点C在双曲线上，当y = 8时，x = 1

∴ 点C的坐标为(1，8)………..4’　　　　　　　　　　　　　　　　

过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON

S_矩形ONDM= 32 ， S_△ONC = 4 ， S_△CDA = 9， S_△OAM = 4　　　　　　　 　

S_△AOC= S_矩形ONDM－S_△ONC－S_△CDA－S_△OAM

= 32－4－9－4 = 15　 ………..6’　　

解法二：

过点　 C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，

∵ 点C在双曲线上，当y = 8时，x = 1。

∴ 点C的坐标为(1，8)　　　　　

∵ 点C、A都在双曲线上，

∴ S_△COE = S_△AOF= 4 　

∴ S_△COE + S_梯形CEFA = S_△COA + S_{△AOF .}

∴ S_△COA = S_梯形CEFA 　

∵ S_梯形CEFA =×(2+8)×3 = 15，　

∴ S_△COA = 15　　　　　　　　　　　

(3)∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ，

∴ OP=OQ，OA=OB

∴ 四边形APBQ是平行四边形

∴ S_△POA = S_{平行四边形APBQ} =×24 = 6

设点P的横坐标为m(m > 0且)，

得P(m，) …………..7’

过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，

∵ 点P、A在双曲线上，∴S_△POE = S_△AOF = 4

若0＜m＜4，

∵ S_△POE + S_梯形PEFA = S_△POA + S_△AOF，

∴ S_梯形PEFA = S_△POA = 6

∴

解得m= 2，m= － 8(舍去)

∴ P(2，4)　　　　　 ……………8’　　　　　

若 m＞ 4，

∵ S_△AOF+ S_梯形AFEP = S_△AOP + S_△POE，

∴ S_梯形PEFA = S_△POA = 6

　∴，

解得m= 8，m =－2 (舍去)

∴ P(8，1)

∴ 点P的坐标是P(2，4)或P(8，1)………….9’

1. (2010年山东省济南市)若是双曲线上的两点，且，则{填“>”、“=”、“<”}．

[关键词]反比例函数

[答案]＜