①在振幅很小的条件下，单摆的振动周期　　　　 跟振幅无关. 　 　　　　　　　②单摆的振动周期跟摆球的质量无关，只与摆长L和当地的重力加速度g有关. 　 　　　　　　　③摆长L是指悬点到摆球重心间的距离，在某些变形单摆中，摆长L应理解为等效摆长，重力加速度应理解为等效重力加速度(一般情况下，等效重力加速度g'等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力与摆球质量的比值). 　 4.受迫振动 　 (1)受迫振动:振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动. 　 (2)受迫振动的特点:受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关. 　 (3)共振:当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，振动物体的振幅最大，这种现象叫做共振. 　 　　　　　共振的条件:驱动力的频率等于振动系统的固有频率. 　.5.机械波:机械振动在介质中的传播形成机械波.

(1)机械波产生的条件:①波源;②介质

(2)机械波的分类 ①横波:质点振动方向与波的传播方向垂直的波叫横波.横波有凸部(波峰)和凹部(波谷). 　 　　　　　　　　②纵波:质点振动方向与波的传播方向在同一直线上的波叫纵波.纵波有密部和疏部. 　 ［注意］气体、液体、固体都能传播纵波，但气体、液体不能传播横波.

(3)机械波的特点 　 ①机械波传播的是振动形式和能量.质点只在各自的平衡位置附近振动，并不随波迁移. 　 ②介质中各质点的振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同.③离波源近的质点带动离波源远的　　　　　　　　　 　　　　　　　　质点依次振动. 　 6.波长、波速和频率及其关系 　 (1)波长:两个相邻的且在振动过程中对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长.振动在一个周期里在介质中传播的距离等于一个波长.

(2)波速:波的传播速率.机械波的传播速率由介质决定，与波源无关.

(3)频率:波的频率始终等于波源的振动频率，与介质无关.

(4)三者关系:v=λf 　 7. ★波动图像:表示波的传播方向上，介质中的各个质点在同一时刻相对平衡位置的位移.当波源作简谐运动时，它在介质中形成简谐波，其波动图像为正弦或余弦曲线. 　 (1)由波的图像可获取的信息 　 ①从图像可以直接读出振幅(注意单位).②从图像可以直接读出波长(注意单位). 　 ③可求任一点在该时刻相对平衡位置的位移(包括大小和方向) 　 ④在波速方向已知(或已知波源方位)时可确定各质点在该时刻的振动方向.⑤可以确定各质点振动的加速度方向(加速度总是指向平衡位置)

(2)波动图像与振动图像的比较：

8.波动问题多解性 　 波的传播过程中时间上的周期性、空间上的周期性以及传播方向上的双向性是导致“波动问题多解性”的主要原因.若题目假设一定的条件，可使无限系列解转化为有限或惟一解

12．(文)已知向量m＝(cos，cos)，n＝(cos，sin)，且x∈[0，π]，令函数f(x)＝2a m·n+b.

(1)当a＝1时，求f(x)的递增区间；

(2)当a<0时，f(x)的值域是[3,4]，求a、b.

解：f(x)＝2a m·n+b

＝2a(cos²+sinx)+b

＝2a(cosx+sinx+)+b

＝a(sinx+cosx)+a+b

＝asin(x+)+a+b.

(1)当a＝1时，f(x)＝sin(x+)+1+b.

令－+2kπ≤x+≤+2kπ，

得－π+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z)，

又x∈[0，π]，∴f(x)的递增区间为[0，]．

(2)当a<0时，∵x∈[0，π]，

∴x+∈[，]，∴sin(x+)∈[－，1]．

当sin(x+)＝－时，f(x)＝－a+a+b＝b，

∴f(x)的最大值为b.

当sin(x+)＝1时，f(x)＝a+a+b＝(1+)a+b.

∴f(x)的最小值为(1+)a+b.

∴解得a＝1－，b＝4.

(理)已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝(a,4cosB)，n＝(cosA，b)满足m∥n.

(1)求sinA+sinB的取值范围；

(2)若实数x满足abx＝a+b，试确定x的取值范围．

解：(1)因为m∥n，所以＝，即ab＝4cosAcosB.

因为△ABC的外接圆半径为1，由正弦定理，得

ab＝4sinAsinB.

于是cosAcosB－sinAsinB＝0，即cos(A+B)＝0.

因为0＜A+B＜π.所以A+B＝.故△ABC为直角三角形．

sinA+sinB＝sinA+cosA＝sin(A+)，

因为＜A+＜，

所以＜sin(A+)≤1，故1＜sinA+sinB≤.

(2)x＝＝＝.

设t＝sinA+cosA(1＜t≤)，则2sinAcosA＝t²－1，

x＝，因为x′＝＜0，

故x＝在(1，]上是单调递减函数．

所以≥.所以实数x的取值范围是[，+∞)．

11．(2009·浙江高考)设向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为　　　　　　 (　)

A．3 　　　　　B．4 　　　　　C．5　 　　　　D．6

解析：当圆与三角形两边都相交时，有4个交点，本题新构造的三角形是直角三角形，其内切圆半径恰好为1.故它与半径为1的圆最多有4个交点．

答案：B

10.(2010·长郡模拟)已知| |＝1，||＝，·＝0，

点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m+n

　(m，n∈R)，则等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　　　B．3 　　　　　　C.　 　　　　　　D.

解析：| |＝1，| |＝，·＝0，

∴OA⊥OB，且∠OBC＝30°，

又∵∠AOC＝30°，∴⊥.

∴(m+n)·(－)＝0，

∴－m²+n²＝0，

∴3n－m＝0，

即m＝3n，∴＝3.

答案：B

9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x+3，－x)，x∈R.

(1)若a⊥b，求x的值；

(2)若a∥b，求|a－b|.

解：(1)若a⊥b，

则a·b＝(1，x)·(2x+3，－x)

＝1×(2x+3)+x(－x)＝0.

整理得x²－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.

(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x+3)＝0，

即x(2x+4)＝0，解得x＝0或x＝－2.

当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，

∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|

＝＝2.

当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，

∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|

＝＝2.

8．(2009·广东高考)若平面向量a，b满足|a+b|＝1，a+b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.

解析：设a＝(x，y)，则a+b＝(x+2，y－1)

由题意⇒

∴a＝(－1,1)或a＝(－3,1)．

答案：(－1,1)或(－3,1)

7.已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于　　　　　　 (　)

A．－4　　　 　B．4 　　　C．0 　　　　D．9

解析：∵a＝(1,2)，b＝(x，－2)，∴a－b＝(1－x,4)，

∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0，∴1－x+8＝0，∴x＝9.

答案：D

6．设两个向量e₁、e₂满足|e₁|＝2，|e₂|＝1，e₁、e₂的夹角为60°，若向量2te₁+7e₂与向量e₁+te₂的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

解：由已知，＝|e₁|²＝4，＝|e₂|²＝1，

e₁·e₂＝2×1×cos60°＝1.

∴(2te₁+7e₂)·(e₁+te₂)＝2t+(2t²+7)e₁·e₂+7t

＝2t²+15t+7.

由2t²+15t+7＜0，得－7＜t＜－.

由2te₁+7e₂＝λ(e₁+te₂)(λ＜0)，得，

∴.由于2te₁+7e₂与e₁+te₂的夹角为钝角，

故(2te₁+7e₂)·(e₁+te₂)＜0且2te₁+7e₂≠λ(e₁+te₂)(λ＜0)，故t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．

5．在△ABC中，·＝3，△ABC的面积S∈[，]，则与夹角的取值范围是　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A．[，]　 　　　B．[，]　　　　　 C．[，]　 　　　D．[，]

解析：设〈·〉＝θ，由·＝| || |cosθ＝3，得| || |＝，

∴S＝| || |sinθ＝××sinθ＝tanθ.

由≤tanθ≤，得≤tanθ≤1，

∴≤θ≤.

答案：B

4.(2009·全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a+b＝c，则〈a，b〉＝(　)

A．150° 　　　　B．120°　　　　　 C．60°　　　 　D．30°

解析：(a+b)²＝c²，a·b＝－，cos〈a，b〉＝＝－，〈a，b〉＝120°.

答案：B