2.在等比数列，已知，，求.

1.求下列各等比数列的通项公式：

1)　　　 a₁=-2,　 a₃=-8

2)　　　 a₁=5, 且2a_n+1=-3a_n

3)　　　 a₁=5, 且

[例1] 已知数列的前n项之和S_n=aqⁿ(为非零常数)，则为(　)。

A.等差数列　　

B.等比数列　

C.既不是等差数列，也不是等比数列

D.既是等差数列，又是等比数列

错解：

(常数)

为等比数列，即B。

错因：忽略了中隐含条件n＞1.

正解：当n＝1时，a₁=S₁＝aq;

当n>1时，

(常数)

但

既不是等差数列，也不是等比数列，选C。

[例2] 已知等比数列的前n项和记为S_n，S₁₀=10 ，S₃₀=70，则S₄₀等于.

错解：S₃₀= S₁₀·q ². 　q ²＝7，q＝， S₄₀= S₃₀·q =.

错因：是将等比数列中S_m, S_2m －S_m, S_3m －S_2m成等比数列误解为S_m, S_2m, S_3m成等比数列.

正解：由题意：得，

S₄₀=.

[例3] 求和：a+a²+a³+…+aⁿ.

错解： a+a²+a³+…+aⁿ＝.

错因：是(1)数列{aⁿ}不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式(2)用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.

正解：当a＝0时，a+a²+a³+…+aⁿ＝0;

　当a＝1时，a+a²+a³+…+aⁿ＝n;

当a1时， a+a²+a³+…+aⁿ＝.

[例4]设均为非零实数，，

　　　 求证：成等比数列且公比为。

证明：

证法一：关于的二次方程有实根，

　 ∴，∴

　 则必有：，即，∴非零实数成等比数列

　 设公比为，则，代入

　 ∵，即，即。

证法二：∵

　　　 ∴

　　　 ∴，∴，且

　　　 ∵非零，∴。

[例5]在等比数列中，，求该数列前7项之积。

　 解：

　∵，∴前七项之积

[例6]求数列前n项和

　 解：　　　　　　　 ①

　 ②

两式相减：

[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，

问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？

　　 (2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？

解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{a_n}，则：

　 a₁= 0.2 (kg),　 a₂=×0.2(kg),　　 a₃= ()²×0.2(kg)

　由此可见：a_n= ()^n-1×0.2(kg),　 a₅= ()^5-1×0.2= ()⁴×0.2=0.0125(kg)。

　　 (2)由(1)得{a_n}是等比数列　　 a₁=0.2 ,　　 q=

答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。

7．在解决等比数列问题时，如已知，a₁，a_n，d，，n中任意三个，可求其余两个。

6.等比数列{a_n}的通项公式a_n=a₁q^n-1可改写为.当q>0，且q1时，y=q^x是一个指数函数，而是一个不为0　的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数的图象上的一群孤立的点.

5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用a_n=a_mq^n-m可求等比数列中任意一项.

4.在已知等比数列的a₁和q的前提下，利用通项公式a_n=a₁q^n-1,可求出等比数列中的任一项.

3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.

2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.

1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.