1．已知，求及。

[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式；(2)指出1+4+…+(3n－5)是该数列的前几项之和.

错解：(1)a_n=3n+7;

(2) 1+4+…+(3n－5)是该数列的前n项之和.

错因：误把最后一项(含n的代数式)看成了数列的通项.(1)若令n=1,a₁=101,显然3n+7不是它的通项.

正解：(1)a_n=3n－2;

(2) 1+4+…+(3n－5)是该数列的前n－1项的和.

　[例2] 已知数列的前n项之和为① 　② 　

求数列的通项公式。

错解： ①

　　　 ②

错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a_n＝S_n－S_n-1与的关系，没注意a₁=S₁.

正解：　　 ①当时，

　　　　　 当时，

　　　　　 经检验 时 　也适合，

　　　　　 ②当时，

　　　　　　 当时，

　　　　 ∴ 　

[例3] 已知等差数列的前n项之和记为S_n，S₁₀=10 ，S₃₀=70，则S₄₀等于　　　　　 。

错解：S₃₀= S₁₀·2d. 　d＝30， 　S₄₀= S₃₀+d =100.

错因：将等差数列中S_m, S_2m －S_m, S_3m －S_2m成等差数列误解为S_m, S_2m, S_3m成等差数列.

正解：由题意：得

代入得S₄₀ ＝。

[例4]等差数列、的前n项和为S_n、T_n.若求；

错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令a_n=7n+1;b_n=4n+27.

错因：误认为

正解：

[例5]已知一个等差数列的通项公式a_n=25－5n，求数列的前n项和；

错解：由a_n0得n5

前5项为非负，从第6项起为负，

S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=50(n5)

当n6时，S_n=｜a₆｜+｜a₇｜+｜a₈｜+…+｜a_n｜＝

　S_n=

错因：一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.

正解： 　

[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，

由此可以确定求其前项和的公式吗？

解：理由如下：由题设： 　　

得： 　

　∴

[例7]已知： ()　 (1) 问前多少项之和为最　　 大？(2)前多少项之和的绝对值最小？

　解：(1)　 　　　∴

　　 (2)

　　　　 当近于0时其和绝对值最小

　　　 　令：　 即 1024+

　　　　 得：

　　　　 　　∵ 　　　∴

[例8]项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程 的根。 ()

　证明：依题意　　

　 ∵　　 ∴

　　 ∵

∴ 　　　　∴　 (获证)。

6、在解决等差数列问题时，如已知，a₁，a_n，d，，n中任意三个，可求其余两个。

5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为，若令A＝，B＝a₁－，则＝An²+Bn.

4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a_n= a₁+(n-1)d=d·n+ a₁-d, a_n是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点(n,)均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.

3.数列{a_n}的前n项的和S_n与a_n之间的关系：若a₁适合a_n(n>2),则不用分段形式表示，切不可不求a₁而直接求a_n.

2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.

1.数列的概念应注意几点：(1)数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；(2)同一数列中可以出现多个相同的数；(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1，2，3，…，n})的函数.

8.等差中项:如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝．我们把A＝叫做a和b的等差中项．

7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．