5.能够使得圆x²+y²-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 (　　　 )　

?A.2　　　　　　　　　 ? B.　　　　　　　 ?　 C.3?　　　　　　　　 　 D.3　

答案?C?　

4.(2008·全国Ⅰ文，10)若直线=1与圆x²+y²=1有公共点，则 　　　　　　　　 　　(　　　 )　A.a²+b²≤1　　　　　　　 　　 B.a²+b²≥1?　　　　　　 C.≤1　　　　　 ?D.≥1　

答案?D?　

3.已知圆C：(x-a)²+(y-2)²=4 (a＞0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2时，则a

等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　 A.?　　　　　　 　　 B.2-?　　　　　　　 　 C.-1　　　　　　　 ?D.+1　

答案?C?　

2.(2008·重庆理，3)圆O₁：x²+y²-2x=0和圆O₂：x²+y²-4y=0的位置关系是　　　　　 　 (　　 )　

?A.相离　　　　　　　　　 ?B.相交　　　　　　　 ?C.外切　　　　　　　 ?D.内切　

答案?B?　

1.(2008·辽宁理，3)圆x²+y²=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是　　　　　　 (　　 )　

?A.?　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

?C.?　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D. 　

答案?C?　

4.圆x²+y²=8内一点P(-1，2)，过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点.　

(1)当=时,求AB的长；　

(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.　

解 (1)当=时，k_AB=-1，　

直线AB的方程为y-2=-(x+1)，

即x+y-1=0.　

故圆心(0，0)到AB的距离

d=,　

从而弦长|AB|=2.　

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则x₁+x₂=-2，y₁+y₂=4.　

由

两式相减得(x₁+x₂)(x₁-x₂)+(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0，　

即-2(x₁-x₂)+4(y₁-y₂)=0，　

∴k_AB=.　

∴直线l的方程为y-2=(x+1)，

即x-2y+5=0.

3.求过点P(4，-1)且与圆C：x²+y²+2x-6y+5=0切于点M(1，2)的圆的方程.　

解 方法一 设所求圆的圆心为A(m,n)，半径为r,　

则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r，　

因为圆C：x²+y²+2x-6y+5=0的圆心为C(-1，3)，　

则,

解得m=3,n=1,r=,　

所以所求圆的方程为(x-3)²+(y-1)²=5.　

方法二　 因为圆C：x²+y²+2x-6y+5=0过点M(1，2)的切线方程为2x-y=0,　

所以设所求圆A的方程为　

x²+y²+2x-6y+5+(2x-y)=0,　

因为点P(4，-1)在圆上，所以代入圆A的方程，　

解得=-4,　

所以所求圆的方程为x²+y²-6x-2y+5=0.

2.从圆C：x²+y²-4x-6y+12=0外一点P(a，b)向圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO| (O为原点).

求|PT|的最小值及此时P的坐标.　

解 已知圆C的方程为

(x-2)²+(y-3)²=1，　

∴圆心C的坐标为(2，3)，　

半径r=1.　

如图所示，连结PC，CT，　

由平面几何知，　

PT²=PC²-CT²

=(a-2)²+(b-3)²-1.　

由已知，PT=PO，∴PT²=PO²，　

即(a-2)²+(b-3)²-1=a²+b².　

化简得2a+3b-6=0.　

得PT²=a²+b²=(13a²-24a+36).　

当a=时，　

PT_min=

|PT|的最小值为，

此时点P的坐标是.

1.m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x²+y²=5.　

(1)无公共点；　

(2)截得的弦长为2；　

(3)交点处两条半径互相垂直.　

解 (1)由已知，圆心为O(0，0)，半径r=,　

圆心到直线2x-y+m=0的距离　

d=

∵直线与圆无公共点，∴d＞r,即,　

∴m＞5或m＜-5.　

故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点.　

(2)如图所示，由平面几何垂径定理知　

r²-d²=1²，即5-=1.　

得m=±2,　

∴当m=±2时，直线被圆截得的弦长为2.　

(3)如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，　

∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，　

∴d=r，即=·，　

解得m=±.　

故当m=±时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.

5.(2008·重庆理，15)直线l与圆x²+y²+2x-4y+a=0 (a＜3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为　　　　　 .　

答案　 x-y+1=0　

例1 已知圆x²+y²-6mx-2(m-1)y+10m²-2m-24=0(m∈R). 　

(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；　

(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；　

(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.　

(1)证明 配方得：(x-3m)²+［y-(m-1)］²=25，　

设圆心为(x，y)，则消去m得　

l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.　

(2)解 设与l平行的直线是l₁：x-3y+b=0，　

则圆心到直线l₁的距离为　

d=.　

∵圆的半径为r=5，　

∴当d＜r，即-5-3＜b＜5-3时，直线与圆相交；　

当d=r,即b=±5-3时，直线与圆相切；　

当d＞r，即b＜-5-3或b＞5-3时，直线与圆相离.　

(3)证明　 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l₁：x-3y+b=0，由于圆心到直线l₁的距离d=，　

弦长=2且r和d均为常量.　

∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.　

例2　 从点A(-3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x²+y²-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.　

解 方法一　 如图所示，设l与x轴交于点B(b,0)，则k_AB=,根据光的反射定律，

反射光线的斜率k_反=.　

∴反射光线所在直线的方程为　

y=(x-b),　

即3x-(b+3)y-3b=0.　

∵已知圆x²+y²-4x-4y+7=0的圆心为C(2,2)，　

半径为1,　

∴=1,解得b₁=-,b₂=1.　

∴k_AB=-或k_AB=-.　

∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.　

方法二 已知圆C：x²+y²-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C₁：(x-2)²+(y+2)²=1，其圆心C₁的坐标为(2，-2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C₁相切.　

设l的方程为y-3=k(x+3),则=1,　

即12k²+25k+12=0.　

∴k₁=-，k₂=-.　

则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.　

方法三　 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.　

∴消去b得=1.　

即12k²+25k+12=0,∴k₁=-,k₂=-.　

则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.　

例3　 已知圆C₁：x²+y²-2mx+4y+m²-5=0,圆C₂：x²+y²+2x-2my+m²-3=0,m为何值时，(1)圆C₁与圆C₂相外切；(2)圆C₁与圆C₂内含？　

解 对于圆C₁与圆C₂的方程，经配方后　

C₁:(x-m)²+(y+2)²=9; C₂:(x+1)²+(y-m)²=4.　

(1)如果C₁与C₂外切，则有=3+2.　

(m+1)²+(m+2)²=25.　

m²+3m-10=0,解得m=-5或m=2.　

(2)如果C₁与C₂内含，则有＜3-2.　

(m+1)²+(m+2)²＜1,m²+3m+2＜0,　

得-2＜m＜-1,　

∴当m=-5或m=2时，圆C₁与圆C₂外切；　

当-2＜m＜-1时，圆C₁与圆C₂内含.　

例4(12分)已知点P(0，5)及圆C：x²+y²+4x-12y+24=0.　

(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；

(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.　

解　 (1)方法一　 如图所示，AB=4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=2，圆x²+y²+4x-12y+24=0可化为(x+2)²+(y-6)²=16，圆心C(-2，6)，半径r=4，故AC=4，　

在Rt△ACD中，可得CD=2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分　

设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,

即kx-y+5=0.　

由点C到直线AB的距离公式： =2，得k=.

此时直线l的方程为3x-4y+20=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分　

又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.　　　　　　　　　　　　　　　 6分　

则y²-12y+24=0,∴y₁=6+2,y₂=6-2,　

∴y₂-y₁=4,故x=0满足题意.　

∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分　

方法二 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为　

y-5=kx,即y=kx+5,　

联立直线与圆的方程　

消去y得(1+k²)x²+(4-2k)x-11=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　 2分　

设方程①的两根为x₁,x₂,　

由根与系数的关系得　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　 4分　

由弦长公式得|x₁-x₂|=　

将②式代入，解得k=，　

此时直线的方程为3x-4y+20=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分　

又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.　

∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分　

(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),　

则CD⊥PD，即·=0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分　

(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为　

x²+y²+2x-11y+30=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分