19.(12分)A、B、C三城市分别有某种机器10台、10台、8台,支援D市18台、E市10台.从A市调一台机器到D、E两市的运费分别为200元和800元;从B市调一台机器到D、E两市的运费分别为300元和700元;从C市调一台机器到D、E两市的运费分别为400元和500元.
(1)若从A、B两市各调x台到D市,当三市28台机器全部调运完毕后,求总运费P(x)关于x的函数表达式,并求P(x)的最大值和最小值;
(2)若从A市调x台到D市,从B市调y台到D市,当28台机器全部调运完毕后,用x、y表示总运费P,并求P的最大值和最小值.
解 (1)机器调运方案如下表:
|
方 |
A |
B |
C |
需量 |
|
D |
200x |
300x |
400(18-2x) |
18 |
|
E |
800(10-x) |
700(10-x) |
500(2x-10) |
10 |
|
供量 |
10 |
10 |
8 |
|
总运费P(x)=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=17 200-800x,
又由0≤x≤10,0≤18-2x≤8,得定义域5≤x≤9,
所以P(x)max=P(5)=13 200(元),
P(x)min=P(9)=10 000(元),
(2)机器调运方案如下表:
|
方 |
A |
B |
C |
需量 |
|
D |
200x |
300y |
400(18-x-y) |
18 |
|
E |
800(10-x) |
700(10-y) |
500(x+y-10) |
10 |
|
供量 |
10 |
10 |
8 |
|
总运费P=200x+300y+400(18-x-y)+800(10-x)+700(10-y)+500(x+y-10)=17 200-100(5x+3y), 其中0≤x≤10,0≤y≤10,0≤18-x-y≤8.
在xOy平面内作出上述不等式的可行域(如图中阴影部分).其中l1:x+y=18,l2:x+y=10.可见,当x=10,y=8时,Pmin=9 800;当x=0,y=10时,Pmax=14 200.
14.在坐标平面上有两个区域M和N,其中区域M=
,区域N={(x,y)|t≤x≤t+1,0≤t≤1},区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示,则f(t)的表达式为
.
答案 f(t)=-t2+t+