8．直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x²－4y²=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.

7．(2006年兖州)设P为双曲线y²＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 　　　　　　．

6．(2005年广州)已知点是抛物线上的动点，定点，若点分所成的比为2：1，则点的轨迹方程是　　　。

5．(2005年佛山)点是单位圆的动点，则点的轨迹方程是　　　。

4．(2007江西)一动点到两坐标轴的距离之和的2倍等于动点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程为(　　)

　A.　　　　　　　　　　　　　 B.

　 C.　　　　　　　　　　　　 D.

3．若θ∈［0，］，则椭圆x²+2y²－2xcosθ+4ysinθ=0的中心的轨迹是(　　 )

2．经过抛物线的焦点的弦的中点轨迹方程是

　 A.　　　 B.　　　 C.　　 D.

1．设k＞1，则关于x、y的方程(1－k)x²+y²=k²－1所表示的曲线是(　　 )

A.长轴在y轴上的椭圆　 　　　　　　　　　　　 B.长轴在x轴上的椭圆

C.实轴在y轴上的双曲线　 　　　　　　　　　　 D.实轴在x轴上的双曲线

6．已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.

(1)当点在轴上移动时，求点的轨迹；

(2)过点作直线与轨迹交于两点，若轴上存在一点，使得是等边三角形，求的值。

[能力提升]

5．已知椭圆C的方程为x²+=1，点P(a，b)的坐标满足a²+≤1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：

(1)点Q的轨迹方程；

(2)点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.

例6．已知常数，向量，经过原点以为方向向量的直线与经过定点，以为方向向量的直线相交于点，其中.试问：是否存在两个定点，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。

［剖析］由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。从求点的轨迹方程入手，进而讨论轨迹方程的性质，便可获得本题的解答.

［解］因为，

所以直线与的方程分别为：和，其中.

消去实数，得点的坐标满足方程，

整理得：　　 ①

，所以

(1)当时，方程①是圆的方程，故不存在合乎题意的定点和；

(2)当时，方程①表示椭圆，故焦点坐标和为合乎题意的两个定点；

(3)当时，方程①也表示椭圆，故焦点和为符合题意的两个定点.

［警示］本题以向量为载体考直线，消元法求轨迹，以圆与椭圆的有关知识，考查了分类讨论思想。以向量为载体考查圆锥曲线问题是最近几何高考的热点问题，要正确认识向量等式所表示的几何意义，将向量运算的数量化是解决本类问题的关键.

［变式训练］