3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)

⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；

⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标

分析：⑴

∴∠BAC＝60°，

⑵设＝(x,y,z)，则

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－1).

1?设，，且，记，

求与轴正方向的夹角的余弦值

解：取轴正方向的任一向量，设所求夹角为，

∵

∴，即为所求

2．　在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿

解： 　　　　　　　　　　　　　　

∴∠ABC＝45°

例1 求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行

已知：直线于，于．

求证：．

证明：以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系，

分别为沿轴，轴，轴的坐标向量，

设，

∵，∴，，

，

，

∴，即，

又知，为两个不同的点，∴．

点评：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，记作，此时向量叫做平面的法向量．

例2．在棱长为的正方体中，分别是中点，在棱上，，是的中点，

(1)求证：；

(2)求与所成的角的余弦；

(3)求的长

解：如图以为原点建立直角坐标系，

则，，，，

，，，

(1)，，

∴，

∴．

(2)∵，

∴，

，，

∴，

∴与所成的角的余弦．

(3)∵，

∴．

例3．已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，

(1)求证：是平面的法向量；

(2)求平行四边形的面积．

(1)证明：∵，

，

∴，，又，平面，

∴是平面的法向量．

(2)，，

∴，

∴，

∴，

∴．

例4　在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝a，BC＝b，AA₁＝c，求异面直线BD₁和B₁C所成角的余弦值

分析一：利用，以及数量积的定义，可求出cos＜＞，从而得到异面直线BD₁和B₁C所成角的余弦值

分析二：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的

运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的

　解：建立如图所示空间直角坐标系，使D为坐标原点，

则B(b,a,0),D₁(0,0,c),B₁(b,a,c),C(0,a,0)

设异面直线BD₁和B₁C所成角为θ，则

6．两点间的距离公式：若，，

则，

或

5．夹角公式：．

3．空间向量的直角坐标运算律：

(1)若，，则，

，，

， ，

．

(2)若，，则．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

4 模长公式：若，，

则，．

1 空间直角坐标系：

(1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；

(2)在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；

2．空间直角坐标系中的坐标：

　 　在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．

12.下面是对这篇文章的赏析，不正确的两项是( 　　　)

A.在场外看张三一家的闹剧的读者，或许会觉得他们杞人忧天而发出轻松的笑声；而对于场内的人来说，那是严肃的，他们的精神都是高度紧张，处于恐慌之中的。

B.在高度压力下慌乱如蚂蚁的人们，对生存的忧虑，在不可抗拒力量的面前，束手无策，体现出无可奈何听天由命的态度，在作出一些努力之后，发现自己还是无法抗拒时，便在忧虑中任其自然，而心里还会盼望最后一刻出现奇迹。

C.小说的主题是：揭示人在灾难来临之前的心态和人的自救行为。

D.人在面对生活中突如其来的、莫名其妙的灾难时，总是在恐慌中尝试各种办法,寻找出路的，小说中用张三一家的多种藏物方法对人的尝试努力进行暗示。那么一次次藏物又一次次地被找到，但还继续努力，暗示的是：人在强大的势力面前束手无策，只能坐以待毙。

E.小说中还附带地写到邻居赵三，写赵三的目的是要暗示：在那样的社会里，人人都只顾自身。因为从他和张三的简短的问答中，我们可以看出赵三是一个极其势利的小人，他一得知可能抄到自家的消息后，立马就去保护自家的财产。

读读背背

　　　　　　　　　　　　 八阵图①

杜甫

功盖三分国，名高八阵图②。

江流石不转，遗恨失吞吴③。

[注释] ①八阵：天、地、风、云、龙、虎、鸟、蛇。图：法度，规模。八阵图：聚细石成堆，各高五尺，纵横棋布。夏时为水隐没，冬时水退仍然出现。遗迹曾见与夔州西南永安宫前平沙上，相传诸葛亮所布八阵有四处，都在四川，以夔州最为有名。 ②功盖：在三国时功德最超卓，影响最大。三分国：三分天下的魏、蜀、吴三国。 ③石不转：指江流虽冲激甚烈，遗迹却终不消失。失吞吴：失策而攻吴。

[赏析]《八阵图》旨在赞颂诸葛亮辉煌的一生，崇敬之情溢于言表。“功盖三分国，名成八阵图”十个字，展现了诗人对诸葛亮的极端崇敬心情。后两句惋惜诸葛亮不能阻止刘备对东吴用兵，导致鼎足之势失衡，遗恨千古。全诗跌宕有致，感情深沉。

11.看完张三一家的闹剧之后我们隐约地体会到小说中作者所要传达的意义是什么？

10.主旨的行文用了一种怎样的手法呢？