4．在求轨迹方程问题中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出轨迹方程以后，应仔细检查有无“不法份子”掺杂其中，将其删除；另一方面，还应注意圾无“漏网之鱼”逍遥法外，将其捉回，即轨迹上点不能含有杂点，也不能少点，也就是曲线上点不多也不少。

[基础闯关]

3．解答曲线的方程问题，首先要明确圆锥曲线的性质，作好对图形变化可能性的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，如参数的选取，相关点的变化规律及限制条件等等，注意将动点的几何性质用数学语言表述。

2．要注意一些轨迹问题，都包括一定的隐含条件，也就是曲线上的点的取值范围.

1．求曲线的方程问题是解析几何学的两大基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹，其实质就是利用题设中几何条件，通过“坐标互化”将其转变为寻求变量间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程时的作用，只要动点满足已知曲线的定义时，就可以直接得出方程.

3.求曲线方程(或轨迹)常用的方法

(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成的等式就可以得到曲线的方程.由于这种求曲线(轨迹)方程的过程不需要其它步骤，也不需要特殊的技巧，所以称之为直接法；

(2)定义法：其动点的轨迹符合某本曲线的定义，则可根据曲线的定义直接求出曲线方程；

(3)几何法：若所求的曲线方程满足某些几何性质(如线段的垂直平分线、角平分线的性质等)，则可利用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较为方便；

(4)相关点法(代入法)：有些问题中，其动点满足的条件不便于用等式列出，但其动点是承受着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的.这时我们可以用动点的坐标表示出相关点的坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程；

(5)参数法：有时动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可以发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(如角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法称之为参数法，如需要得出普通方程，只要消去参数即可。在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间、速度、距离、角度、有向线段的数量、直线的斜率，点的横、纵坐标等，也可以没有具体意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响.

(6)交轨法：在求动点的轨迹方程时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参考求出所求的曲线方程，该法经常与参数法并用.

(7)整体法：当探求的曲线方程问题较为复杂时，可扩大考察视角，将问题中的条件、结论的各种关系看成是一个整体，从整体出发运用整体思想、注重整体结构的挖掘和分析。

［特别提醒］

2．坐标法与解析研究的对象

(1)坐标法：借助于坐标系，用　　　 表示点，把曲线看成　　　　　　　　　　 或轨迹，用曲线上的点的坐标所满足的方程　　　　　 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这种方法称为坐标法.

(2)用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做　　　　　 ，解析几何主要研究以下问题：

①根据已知条件，求出曲线的方程；②通过曲线方程，研究曲线的性质.

(3)利用坐标法求曲线方程的步骤：

①建立适当的坐标系，用有序的实数对表示曲线上任意一点的坐标；

②写出适合条件的点的集合　　　　　　　　 ；

③用坐标表示条件，列出方程；

④化方程为最简形式；

⑤说明化简后的方程的解为坐标的点都在　　　 上.

1．曲线的方程与方程的曲线

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个一元二次方程的实数解建立如下关系：

(1)　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　；(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线。另外，平面上所有满足条件的动点的集合，也称为　　　　　 。

12. (2006年四川卷)已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积.

第五讲　曲线与方程

[知识梳理]

［知识盘点］

11. (2006年福建卷)　　　 已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

　　　 (I)求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；

　　　 (II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

10．在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.

　 (1)求向量的坐标；

　　 (2)是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.