5.(04全国卷Ⅳ25)如图所示,在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C.重物A(视为质点)位于B的右端,A、B、C的质量相等.现A和B以同一速度滑向静止的C,B与C发生正碰.碰后B和C粘在一起运动，A在C上滑行,A与C有摩擦力.已知A滑到C的右端而未掉下.试问：

B、C发生正碰到A刚移动到C右端期间,C所走过的距离是C板长

度的多少倍？

　 答案　 倍

　 解析　　 设A、B、C的质量均为m.碰撞前,A与B的共同速度为v_0,碰撞后B与C的共同速度为v_1。对B、C,由动量守恒定律得　 mv₀=2mv₁　　 　　　 　　①

设A滑至C的右端时,三者的共同速度为v₂.对A、B、C,由动量守恒定律得　

2mv₀=3mv₁ ②

设A与C的动摩擦因数为μ,从发生碰撞到A移至C的右端时C所走过的距离为S.对B、C由功能关系

μ(2m)gs=(2m)v₂²-(2m)v₁² 　　 　　　　 ③

Μmg(s+l)= mv₀²-mv₂² ④

由以上各式解得=

4.(04上海21)滑雪者从A点由静止沿斜面滑下,经一平台后水平飞离B点,

地面上紧靠平台有一个水平台阶,空间几何尺度如图所示.斜面、平台与滑雪

板之间的动摩擦因数均为μ.假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方

向运动,且速度大小不变.求:

(1)滑雪者离开B点时的速度大小；

(2)滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离s.

答案 (1)　

(2)当H-μL<2h时,s=当H-μL>2h时,s=2

解析　　 (1)设滑雪者质量为m,斜面与水平面间的夹角为θ,滑雪者滑行过程中克服摩擦力做功W=μmgs?cosθ+μmg(L-scosθ)=μmgL

由动能定理mg(H-h)-μmgL=mv²

离开B点时的速度v=

(2)设滑雪者离开B点后落在台阶上=gt₁²,s₁=vt₁<h

可解得s₁=<h

此时必须满足H-μL<2h.

当H-μL>2h时,滑雪者直接落到地面上.h=gt₂²,s=vt²

可解得s=2

3.(04广东14)一质量为m的小球,以初速度v₀沿水平方向射出,恰好垂直地射到一倾角为30°的固定斜面上,并立即沿反方向弹回.已知反弹速度的大小是入射速度大小的,求在碰撞过程中斜面对小球的冲量大小.

答案　

解析 　令小球与斜面相碰时速度大小为v,由题意可知,碰后的速度大小为v,因小球与斜面垂直相碰撞,后被反弹回,则碰撞中斜面对小球的冲量大小为I,(设定反弹回的速度方向为正)由动量定理得:

I=Δp=m×v-(-mv)=

又因小球水平的初速度为v₀,由右图可得:v==2v₀

所以碰撞中斜面对小球的冲量大小为:I==

2.(05北京春招24)下雪天,卡车在笔直的高速公路上匀速行驶.司机突然发现前方停着一辆故障车,他将刹车踩到底,车轮被抱死,但卡车仍向前滑行,并撞上故障车,且推着它共同滑行了一段距离l后停下.事故发生后,经测量,卡车刹车时与故障车距离为L,撞车后共同滑行的距离l=L.假定两车轮胎与雪地之间的动摩擦因数相同.已知卡车质量M为故障车质量m的4倍.　

(1)设卡车与故障车相撞前的速度为v₁,两车相撞后的速度变为v₂,求；

(2)卡车司机至少在距故障车多远处采取同样的紧急刹车措施,事故才能免于发生.　

答案　 　(1) 　　(2) L

解析　 　(1)由碰撞过程动量守恒知　

Mv₁=(M+m)v_{2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 TH}①　

则

(2)设卡车刹车前速度为v₀,轮胎与雪地之间的动摩擦因数为μ,两车相撞前卡车动能变化　

Mv₀²-Mv₁²=μMgL　　　　　　　　 　　 　　 ②　

碰撞后两车共同向前滑动到最后静止,动能变化　

(M+m)v₂²-0=μ(M+m)gl　　　　　　　　 ③　

由②式得v₀²-v₁²=2μgL　

由③式得v₂²=2μgl　

又因l=L,得v₀²=3μgL　

如果卡车滑到故障车前刚好停止,由　

Mv₀²-0=μMgL′　　　　　　　　　　　　　 ④　

故L′=L　

这意味着卡车司机在距故障车至少L处紧急刹车,事故就能够免于发生.　

1.(05广东18) 如图所示，两个完全相同的质量为m的木板A、B置

于水平地面上，它们的间距s=2.88 m.质量为2m、大小可忽略的物

块C置于A板的左端.C与A之间的动摩擦因数为μ₁=0.22，A、B与水平地面之间的动摩擦因数为μ₂=0.10，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力.开始时，三个物体处于静止状态.现给C施加一个水平向右，大小为mg的恒力F，假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起.要使C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少？　

答案　 　0.3 m?

解析 　设A、C之间的滑动摩擦力大小为f₁，A与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f₂　

∵μ₁=0.22,μ₂=0.10　

∴F=mg＜f₁=2μ₁mg　

且F=mg＞f₂=μ₂(2m+m)g　

∴一开始A和C保持相对静止，在F的作用下向右加速运动，有　

(F-f₂)·s=(2m+m)v₁²

A、B两木板的碰撞瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量，A、B组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得：

mv₁=(m+m)v₂

碰撞结束后三个物体达到共同速度的相互作用过程中，设木板向前移动的位移为x₁，选三个物体构成的整体为研究对象，外力之和为零，则　

2mv₁+(m+m)v₂=(2m+m+m)v₃　

设A、B系统与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f₃，对A、B系统，由动能定理　

f₁·s₁-f₃·s₁=·2mv₃²-·2mv₂²　

f₃=μ₂(2m+m+m)g　

对C物体，由动能定理　

F·(2l+x₁)-f₁·(2l+x₁)= ·2mv₃²-·2mv₁²　

由以上各式、再代入数据可得l=0.3 m

12.(2005江苏18)如图所示,三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上,现给中间的小球B一个水平初速度v₀,方向与绳垂直,小球相互碰撞时无机械能损失,轻绳不可伸长.求：　

(1)当小球A、C第一次相碰时,小球B的速度；

(2)当三个小球再次处在同一直线上时,小球B的速度；　

(3)运动过程中小球A的最大动能E_kA和此时两根绳的夹角θ；

(4)当三个小球处在同一直线上时,绳中的拉力F的大小.　

答案　 (1)v₀ (2)-v₀ (3)90°　 (4)m　

解析　 (1)设小球A、C第一次相碰时,小球B的速度为v_B,考虑到对称性及绳的不可伸长特性,小球A、C沿小球B初速度方向的速度也为v_B.由动量守恒定律,得mv₀=3mv_B

由此解得v_B=v₀　

(2)当三个小球再次处在同一直线上时,则由动量守恒定律和机械能守恒定律,得　

mv₀=mv_B+2mv_A

mv₀²=mv_B²+2×mv_A²

解得v_B=-v₀,v_A=v₀(三球再次处于同一直线)　

v_B=v₀,v_A=0(初始状态,舍去)

所以三个小球再次处在同一直线上时,小球B的速度为　

v_B=-v₀(负号表明与初速度方向相反)　

(3)当小球A的动能最大时,小球B的速度为零.设此时小球A、C的速度大小为u,两根绳间夹角为θ,则仍由动量守恒定律和机械能守恒定律,得：

mv₀=2musin

mv₀²=2×mu²　

另外,E_kA=mu²

由此解得,小球A的最大动能为：　

E_kA=mv₀²　

此时两根绳间夹角为θ=90°　

(4)小球A、C均以半径L绕小球B做圆周运动,当三个小球处在同一直线上时,以小球B为参考系(小球B的加速度为零,为惯性参考系),小球A、C相对小球B的速度均为：　

v=|v_A-v_B|=v₀　

所以,此时绳中拉力大小为：F=m=m　

题组三

11.(05全国理综Ⅱ25)如图所示,一对杂技演员(都视为质点)乘秋千(秋千绳处于水

平位置)从A点由静止出发绕O点下摆,当摆到最低点B时,女演员在极短时间内将

男演员沿水平方向推出,然后自己刚好能回到高处A.求男演员落地点C与O点的水

平距离s.已知男演员质量m₁和女演员质量m₂之比=2,秋千的质量不计,秋千的摆长为R,C点比O点低5R.　 答案　 8 R

解析　 设分离前男女演员在秋千最低点B的速度为v₀,由机械能守恒定律得

(m₁+m₂)gR=(m₁+m₂)v₀² ①　

设刚分离时男演员速度大小为v₁,方向与v₀相同;女演员速度大小为v₂,方向与v₀相反,由动量守恒得(m₁+m₂)v₀=m₁v₁-m₂v₂ ②　

分离后,男演员做平抛运动,设男演员从被推出到落在C点所需的时间为t,根据题给条件,由运动学规律　

4R=gt² ③　　

s=v₁t　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 ④　

分离后,女演员恰回到A点,由机械能守恒定律　

m₂gR=m₂v₂² ⑤　

已知m₁=2m₂ ⑥　

由以上各式得：s=8 R　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦　

10.(05天津理综24)如图所示，质量m_A为4.0 kg的木板A放在水平面C上，

　 木板与水平面间的动摩擦因数μ为0.24，木板右端放着质量m_B为1.0 kg的

　 小物块B(视为质点)，它们均处于静止状态.木板突然受到水平向右的12 N·s的瞬时冲量I作用开始运动，当小物块滑离木板时，木板的动能E_KA为8.0 J，小物块的动能E_KB为0.50 J，重力加速度取10 m/s²，求：

(1)瞬时冲量作用结束时木板的速度v₀；　

(2)木板的长度L.　

答案　 (1)3.0 m/s　 (2)0.50 m?

解析(1)设水平向右为正方向，有　

I=m_Av₀ ①

代入数据解得

v₀=3.0 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

(2)设A对B、B对A、C对A的滑动摩擦力的大小分别为F_AB、F_BA和F_CA，B在A上滑行的时间为t，B离开A时A和B的速度分别为v_A和v_B，有

-(F_BA+F_CA)t=m_Av_A-m_Av₀ ③

F_ABt=m_Bv_B ④　

其中F_AB=F_BA

F_CA=μ(m_A+m_b)g　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

设A、B相对于C的位移大小分别为S_A和S_B,

有-(F_BA+F_CA)S_A=m_Av_A²-m_Av₀² ⑥　

F_ABS_B=E_KB ⑦

动量与动能之间的关系为　

m_Av_A=　　　　 　　 　　　　　　　　　　 ⑧

m_Bv_B= 　　　　　　　　　　　　　　 　　 ⑨　

木板A的长度

L=s_A-s_B　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　 ⑩　

代入数据解得　

L=0.50 m

9.(2006重庆理综25)如图所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内.小球

A、B质量分别为m、βm(β为待定系数).A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨

道下滑,与静止于轨道最低点的B球相撞,碰撞后A、B球能达到的最大高度均为R,

碰撞中无机械能损失.重力加速度为g.试求:

(1)待定系数β;　

(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力;

(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度,并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度.

答案　 (1)β=3　　 (2)A:v₁=-,方向向左;B:v₂=,方向向右；4.5 mg,方向竖直向下

(3)A:V₁=-, B:V₂=0.当n为奇数时,小球A、B第n次碰撞结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同.

当n为偶数时,小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同.

解析 　　(1)由mgR=+得β=3　

(2)设A、B碰撞后的速度分别为v₁、v₂,则　

mv₁²=

βmv₂²=　

设向右为正、向左为负,得　

v₁=-,方向向左　

v₂=,方向向右　

设轨道对B球的支持力为N,B球对轨道的压力为N′,方向竖直向上为正、向下为负，

则N-βmg=βm

N′=-N=-4.5 mg,方向竖直向下

(3)设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V₁、V₂,则

解得V₁=- ,V₂=0　

(另一组解:V₁=-v₁,V₂=-v₂不合题意,舍去)　

由此可得:　

当n为奇数时,小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同;当n为偶数时,小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同.　

8.(2006江苏17)如图所示，质量均为m的A、B两个弹性小球，用长为2l的不可

伸长的轻绳连接.现把A、B 两球置于距地面高H处(H足够大)，间距为l，当A球

自由下落的同时，将B球以速度v₀指向A球水平抛出，求：　

(1)两球从开始运动到相碰，A球下落的高度；

(2)A、B两球碰撞(碰撞时无机械能损失)后，各自速度的水平分量；　

(3)轻绳拉直过程中，B球受到绳子拉力的冲量大小.　

答案　　 (1) 　　(2)v₀ 0　　 (3)

解析　 (1)设A球下落的高度为h

l=v₀t　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

h=gt² ②

联立①②得h=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

(2)由水平方向动量守恒得

mv₀=mv_Ax′+mv_Bx′　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

由机械能守恒得

m(v₀²+v_By²)+ mv_Ay²=m(v_Ax′²+v_Ay′²)+ m(v_Bx′²+v_By′²)　　　　　　 ⑤

式中v_Ay′=v_Ayv_By′=v_By

联立④⑤得v_Ax′=v₀,v_Bx′=0

(3)由水平方向动量守恒得

mv₀=2mv_Bx″

则I=mv₀-mv_Bx″=