某兴趣小组设计了一种实验装置,用来研究碰撞问题,其模型如右图所示.用完全相同的轻绳将N个大小相同.质量不等的小球并列悬挂于一水平杆,球间有微小间隔,从左到右,球的编号依次为1.2.3--.N,——青夏教育精英家教网—

7.(07重庆理综25)某兴趣小组设计了一种实验装置,用来研究碰撞问题,其模型如

右图所示.用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平

杆,球间有微小间隔,从左到右,球的编号依次为1、2、3…….N,球的质量依次递减,

每个球的质量与其相邻左球质量之比为k(k＜1).将1号球向左拉起,然后由静止释放,使

其与2号球碰撞,2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰.(不计空气阻力,忽略绳的伸长,g取10 m/s²)　

(1)设与n+1号球碰撞前,n号球的速度为v_n,求n+1号球碰撞后的速度.　

(2)若N=5,在1号球向左拉高h的情况下,要使5号球碰撞后升高16h(16h小于绳长),问k值为多少？　

(3)在第(2)问的条件下,悬挂哪个球的绳最容易断,为什么？　

答案　　(1) 　　(2)0.414　　 (3)悬挂1号球的绳最容易断,原因见解

解析　(1)设n号球质量为m_n,n+1号球质量为m_n₊₁,碰撞后的速度分别为v _n′、v_n₊₁′,取水平向右为正方向,据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为v_n、0,且m_n₊₁=km_n　

根据动量守恒定律,有m_nv_n=m_nv_n′n+km_nv_n₊₁′　①　

根据机械能守恒定律,有

m_nv_n²=m_nv_n′²+km_nv_n₊₁′²②　

由①②得v_n₊₁′=(v_n₊₁′=0舍去)　

设n+1号球与n+2号球碰前的速度为v_n₊₁?　

据题意有v_n₊₁=v_n₊₁′

得v_n₊₁=v_n₊₁′=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③　

(2)设1号球摆至最低点时的速度为v₁,由机械能守恒定律有　

m₁gh=m₁v₁²④　

解得v₁=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤　

同理可求5号球碰后瞬间的速度　

v₅=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥　

由③式得v_n₊₁=ⁿv₁⑦　

N=n+1=5时,v₅=()⁴v₁⑧　

由⑤⑥⑧三式得　

k=-1≈0.414(k=--1舍去)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑨　

(3)设绳长为l,每个球在最低点时,细绳对球的拉力为F,由牛顿第二定律有　

F-m_ng=m_n⑩　

则F=m_ng+m_n=m_ng+2=m_ng+E_k_n

?式中E_kn为n号球在最低点的动能　

由题意可知1号球的重力最大,又由机械能守恒定律可知1号球在最低点碰前的动能也最大,根据式可判断在1号球碰撞前瞬间悬挂1号球细绳的张力最大,故悬挂1号球的绳最容易断.　

6.(07四川理综25)目前,滑板运动受到青少年的追捧.如

图是某滑板运动员在一次表演时的一部分赛道在竖直平面

内的示意图,赛道光滑,FGI为圆弧赛道,半径R=6.5 m,G为最低点并与水平赛道BC位于同一水平面,KA、DE平台的高度都为h=1.8 m,B、C、F处平滑连接.滑板a和b的质量均为m,m=5 kg,运动员质量为M,M=45 kg.表演开始,运动员站在滑板b上,先让滑板a从A点静止下滑,t₁=0.1 s后再与b板一起从A点静止下滑.滑上BC赛道后,运动员从b板跳到同方向运动的a板上,在空中运动的时间t₂=0.6 s(水平方向是匀速运动).运动员与a板一起沿CD赛道上滑后冲出赛道,落在EF赛道的P点,沿赛道滑行,经过G点时,运动员受到的支持力N=742.5 N.(滑板和运动员的所有运动都在同一竖直平面内,计算时滑板和运动员都看作质点,取g=10 m/s²)

(1)滑到G点时,运动员的速度是多大？　

(2)运动员跳上滑板a后,在BC赛道上与滑板a共同运动的速度是多大？　

(3)从表演开始到运动员滑至I的过程中,系统的机械能改变了多少？

答案　　(1)6.5 m/s　　　 (2)6.9 m/s　　　 (3)88.75 J?　　

解析　　 (1)在G点,运动员和滑板一起做圆周运动,设向心加速度为a_n,速度为v_G,运动员受到重力 Mg、滑板对运动员的支持力N的作用,则

N-Mg=Ma_n①

a_n=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

即N-Mg=　　　　　　　　　　　　　　　 ③

v_G=　　　　　　　　　　　　　　　 ④

v_G=6.5 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

(2)设滑板a由A点静止下滑到BC赛道后速度为v₁,由机械能守恒定律有　

mgh=mv₁²⑥

解得v₁=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

运动员与滑板b一起由A点静止下滑到BC赛道后,速度也为v₁.　

运动员由滑板b跳到滑板a,设蹬离滑板b时的水平速度为v₂,在空中飞行的水平位移为s,则　

s=v₂t₂⑧　

设起跳时滑板a与滑板b的水平距离为s₀,则　

s₀=v₁t₁⑨　

设滑板a在t₂时间内的位移为s₁,则　

s₁=v₁t₂⑩　

s=s₀+s₁

即v₂t₂=v₁(t₁+t₂)　　　　　　　　　　　　　　　

运动员落到滑板a后,与滑板a共同运动的速度为v,由动量守恒定律　

mv₁+Mv₂=(m+M)v　　　　　　　　　　　　　　　

由以上方程可解出　

v=　　　　　　　　　　

代入数据,解得v=6.9 m/s?　　　　　　　　　　

(3)设运动员离开滑板b后,滑板b的速度为v₃,有　

Mv₂+mv₃=(M+m)v₁　

可算出v₃=-3 m/s,有|v₃|=3 m/s＜v₁=6 m/s,b板将在两个平台之间来回运动,机械能不变.　

系统的机械能改变为　

?ΔE=(M+m)v_G²+mv₃²-(m+m+M)gh　

故ΔE=88.75 J

5.(07四川理综18)如图所示,弹簧的一端固定在竖直墙上,质量为m的光滑

弧形槽静止在光滑水平面上,底部与水平面平滑连接,一个质量也为m的小球

从槽高h处开始自由下滑　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.在以后的运动过程中,小球和槽的动量始终守恒　

B.在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功　

C.被弹簧反弹后,小球和槽都做速率不变的直线运动　

D.被弹簧反弹后,小球和槽的机械能守恒,小球能回到槽高h处

答案　　C?

解析　小球与槽组成的系统在水平方向动量守恒,由于小球与槽质量相等,分离后小球和槽的速度大小相等,小球与弹簧接触后,由能量守恒可知,它将以原速率被反向弹回,故C项正确.

4.(07重庆理综17)为估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强,小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台,测得1小时内杯中水位上升了45 mm.查询得知,当时雨滴竖直下落速度约为12 m/s.据此估算该压强约为(设雨滴撞击睡莲后无反弹,不计雨滴重力,雨水的密度为1×10³kg/m³?)　

A.0.15 Pa　　　　　　　　　　　 B.0.54 Pa　　　　　　　 C.1.5 Pa　　　　　　　　 D.5.4 Pa?　

答案　 A

解析　　设圆柱形水杯的横截面积为S,则水杯中水的质量为m=ρV=10³×45×10^-3S=45S,由动量定理可得：Ft=mv,而p=,所以p== Pa=0.15 Pa.

3.(07北京理综20)在真空中的光滑水平绝缘面上有一带电小滑块.开始时滑块静止.若在滑块所在空间加一水平匀强电场E₁,持续一段时间后立刻换成与E₁相反方向的匀强电场E₂.当电场E₂与电场E₁持续时间相同时,滑块恰好回到初始位置,且具有动能E_k.在上述过程中,E₁对滑块的电场力做功为W₁,冲量大小为I₁;E₂对滑块的电场力做功为W₂,冲量大小为I₂.则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 ) ?A.I₁=I₂　　　　　　 B.4I₁=I₂　　　　 C.W₁=0.25E_k,W₂=0.75E_k?　　　　　 D.W₁=0.20E_k,W₂=0.80E_k

答案　　C

解析　电场为E₁时滑块的加速度为a₁,电场为E₂时滑块的加速度为a₂,两段相同时间t内滑块运动的位移大小相等,方向相反,第一个t内的位移s₁=a₁t²,第二个t内的位移s₂=v₁t-a₂t²=a₁t·t-a₂t²=a₁t²-a₂t²,由s₁=-s₂得:a₂=3a₁,即:E₂=3E₁,所以I₁=E₁qt,I₂=E₂qt,则I₂=3I₁,故A、B错误.W₁=E₁qs,W₂=E₂qs,而W₁+W₂=E_k,所以

W₁=0.25E_k,W₂=0.75E_k,故C对,D错.

2.(07全国卷II 16)如图所示, PQS是固定于竖直平面内的光滑的　圆周轨道,圆心O

在S的正上方.在O和P两点各有一质量为m的小物块a和b,从同一时刻开始,a自

由下落,b沿圆弧下滑.以下说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

A.a比b先到达S,它们在S点的动量不相等

B.a与b同时到达S,它们在S点的动量不相等

C.a比b先到达S,它们在S点的动量相等

D.b比a先到达S,它们在S点的动量相等

答案　 A

解析　 a自由下落,b沿圆弧下滑,a比b先到达S,二者下落高度相同,由机械能守恒定律可知,二者到达S时速度大小相同,故动量不同,A项正确.

1．(07全国卷I 18)如图所示,在倾角为30°的足够长的斜面上有一质量为m的

物体,它受到沿斜面方向的力F的作用.力F可按图(a)、(b)、(c)、(d)所示的四

种方式随时间变化(图中纵坐标是F与mg的比值,力沿斜面向上为正.)　

已知此物体在t=0时速度为零,若用v₁、v₂、v₃、v₄分别表示上述四种受力情况下物体在3秒末的速率,则这四个速率中最大的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )　

?

A.v₁B.v₂　　　　　　 C.v₃　　　 ?　 D.v₄　

答案　 C

解析　　图(a)中,合力的冲量为I_a=Ft₁+Ft₂-mgsin 30°·t=-0.5 mg×2+0.5 mg×1-0.5 mg×3=-2 mg;图(b)中,合力的冲量为I_b=Ft₁+Ft₂+Ft₃-mgsin 30°·t=-1.5 mg;图(c)中,合力的冲量为I_c=Ft₁+Ft₂-mgsin 30°t=

-2.5 mg;图(d)中,合力的冲量为I_d=Ft₁+Ft₂-mgsin 30°·t=-1.5 mg,由于图(c)情况下合力的冲量最大,故v₃是最大的.

8.(08广东20)如图所示,固定的凹槽水平表面光滑,其内放置U形滑板N,

滑板两端为半径R=0.45 m的1/4圆弧面,A和D分别是圆弧的端点,BC

段表面粗糙,其余段表面光滑,小滑块P₁和P₂的质量均为m,滑板的质量

M=4m.P₁和P₂与BC面的动摩擦因数分别为μ₁=0.10和μ₂=0.40,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,开始时滑板紧靠槽的左端,P₂静止在粗糙面的B点.P₁以v₀=4.0 m/s的初速度从A点沿弧面自由滑下,与P₂发生弹性碰撞后,P₁处在粗糙面B点上,当P₂滑到C点时,滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连,P₂继续滑动,到达D点时速度为零,P₁与P₂可视为质点,取g=10 m/s².问：　

(1)P₂在BC段向右滑动时,滑板的加速度为多大？　

(2)BC长度为多少？N、P₁和P₂最终静止后,P₁与P₂间的距离为多少？　

答案　 (1)0.8 m/s²(2)1.9 m?0.695 m?　

解析　 (1)将N、P₁看作整体,根据牛顿第二定律得：　

μ₂mg=(M+m)a　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　

a= m/s²=0.8 m/s²②　

(2)设P₁到达B点的速度为v,P₁从A点到达B点的过程中,根据动能定理有：　

mgR=mv²-mv₀^{2　　　　　　 `}③　

代入数据得v=5 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④　

因P₁、P₂质量相等且发生弹性碰撞,所以碰后P₁、P₂交换速度,即碰后P₂在B点的速度为：　

v_B=5 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

设P₂在C点的速度为v_C,P₂从C点到D点过程中根据动能定理得：　

-mgR=-mv_C²⑥　

代入数据得v_C=3 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦　

P₂从B点到C点的过程中,N、P₁、P₂作为一个系统所受合外力为零,系统动量守恒,设P₂到达C点时N和P₁的共同速度为v′.根据动量守恒定律得：　

mv_B=mv_C+(M+m)v′　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧　

v′为滑板与槽的右端粘连前滑板和P₁的共同速度.由动能定理　

-μ₂mgL₂=mv_C²-mv_B²⑨　

μ₂mgL_N=(M+m)v′²⑩　

L₂和L_N分别为P₂和滑板对地移动的距离,联立⑧⑨⑩得BC长度　

l=L₂-L_N=1.9 m　　　　　　　　　　　　　　　

滑板与槽粘连后,P₁在BC上移动的距离为l₁　

-μ₁mgl₁=0-mv₁²?

P₂在D点滑下后,在BC上移动的距离l₂

mgR=μ₂mgl₂　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

联立　　　　得系统完全静止时P₁与P₂的间距Δl=l-l₁-l₂=0.695 m.

2004-2007年高考题

题组一

7.(08广东19)如图(a)所示,在光滑绝缘水平面的AB区域内存在水平向右的电场,电场强度E随时间的变化如图(b)所示,不带电的绝缘小球P₂静止在O点.t=0时,带正电的小球P₁以速度v₀从A点进入AB区域,随后与P₂发生正碰后反弹,反弹速度大小是碰前的倍,P₁的质量为m₁,带电荷量为q,P₂的质量m₂=5m₁,A、O间距为L₀,O、B间距L=.已知,T=.