1. 设abc≠0，“ac>0”是“曲线ax²+by²＝c为椭圆”的　(　)

A. 充分不必要条件　　 　　　 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　 　　　 D. 既不充分又不必要条件

6. 向量的坐标形式及应用是解析法的重要补充，应注意把二者有机地结合起来

[模拟试题](满分100分，时间60分钟)

5. 求出轨迹方程后要注意检验，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系，尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的限制，往往使方程产生增根

4. 求轨迹方程的主要方法有：直接法、定义法、代入法、参数法

3. 注意用好以下数学思想、方法：

①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转化思想；⑥分类思想

除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形结合思想、主元分析思想、正难则反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法在学习中必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力

2. 四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一

解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的

具体来说，有以下三方面：

(1)确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口

(2)解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识

(3)解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号

[典型例题]

例1　 如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>0，b≠0)，且交抛物线y²＝2px(p>0)于M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)两点

(1)写出直线l的截距式方程；

(2)证明：+＝；

(3)当a＝2p时，求∠MON的大小

分析：易知直线l的方程为+＝1，欲证+＝，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y²＝2px交点的纵坐标由根与系数的关系易得y₁+y₂、y₁y₂的值，进而证得+＝　 由·＝0易得∠MON＝90°亦可由k_OM·k_ON＝－1求得∠MON＝90°

(1)解：直线l的截距式方程为+＝1

(2)证明：由+＝1及y²＝2px消去x可得by²+2pay－2pab＝0　

点M、N的纵坐标为y₁、y₂，

故y₁+y₂＝，y₁y₂＝－2pa

所以+＝＝＝

(3)解：设直线OM、ON的斜率分别为k₁、k₂，

则k₁＝，k₂＝

当a＝2p时，由(2)知，y₁y₂＝－2pa＝－4p²，

由y₁²＝2px₁，y₂²＝2px₂，相乘得(y₁y₂)²＝4p²x₁x₂，

x₁x₂＝＝＝4p²，

因此k₁k₂＝＝＝－1

所以OM⊥ON，即∠MON＝90°

点评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力

例2　 已知椭圆C的方程为+＝1(a>b>0)，双曲线－＝1的两条渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图)

(1)当l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；

(2)当＝λ时，求λ的最大值

分析：(1)求椭圆方程即求a、b的值，由l₁与l₂的夹角为60°易得＝，由双曲线的焦距为4易得a²+b²＝4，进而可求得a、b

(2)由＝λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l₁的交点，故需求l的方程将l与l₂的方程联立可求得P点的坐标，进而可求得点A的坐标将点A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值

解：(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线夹角为60°，

又<1，∴∠POx＝30°，即＝tan30°＝ ∴a＝b

又a²+b²＝4， ∴a²＝3，b²＝1

故椭圆C的方程为+y²＝1

(2)由已知l：y＝(x－c)，与y＝x解得P(，)，

由＝λ得A(，)

将A点坐标代入椭圆方程得

(c²+λa²)²+λ²a⁴＝(1+λ)²a²c²

∴(e²+λ)²+λ²＝e²(1+λ)²

∴λ²＝＝－［(2－e²)+］+3≤3－2

∴λ的最大值为－1

点评：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题

例3 设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P(0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标

分析：设椭圆方程为+＝1，由e＝知椭圆方程可化为x²+4y²＝4b²，然后将距离转化为y的二次函数，二次函数中含有一个参数b，在判定距离有最大值的过程中，要讨论y＝－是否在y的取值范围内，最后求出椭圆方程和P点坐标

解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是+＝1，其中a＞b＞0待定

由e²＝＝＝1－()²

可知＝＝＝，即a＝2b

设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，

则d²＝x²+(y－)²＝a²(1－)+y²－3y+

＝ 4b²－3y²－3y+＝－3(y+)²+4b²+3，其中－b≤y≤b

如果b＜，则当y＝－b时d²(从而d)有最大值，

由题设得()²＝(b+)²，

由此得b＝－＞，与b＜矛盾

因此必有b≥成立，于是当y＝－时d²(从而d)有最大值，

由题设得()²＝4b²+3，由此可得b＝1，a＝2

故所求椭圆的直角坐标方程是+y²＝1

由y＝－及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点(－，－)，点(，－)到点P的距离都是

解法二：根据题设条件，设椭圆上任意一点的坐标为(x，y)则

其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π，

∵e＝，∴a＝2b

设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则

d²＝x²+(y－)²＝a²cos²θ+(bsinθ－)²＝－3b²·(sinθ+)²+4b²+3

如果＞1，即b＜，

则当sinθ＝－1时，d²(从而d)有最大值，

由题设得()²＝(b+) ²，

由此得b＝－＞，与b＜矛盾

因此必有≤1成立，于是当sinθ＝－时，d²(从而d)有最大值，

由题设得()²＝4b²+3 由此得b＝1，a＝2

所以椭圆参数方程为

消去参数得+y²＝1，

由sinθ＝，cosθ＝±知椭圆上的点(－，－)，(，－)到P点的距离都是

点评：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论

例4 　如图，矩形ABCD中，，以AB边所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，P是x轴上方一点，使PC、PD与线段AB分别交于、两点，且成等比数列，求动点P的轨迹方程

解：显然有，

设，

三点共线，，　　　

　　 ，又三点共线，

，，

，

　　 ，，

　　 化简得动点P的轨迹方程为

例5　 设双曲线的两个焦点分别是F₁和F₂，A 、B分别是双曲线两条渐进线上的动点，且，求线段AB中点的轨迹方程

分析：复习双曲线性质，注意点在直线上使横纵坐标互相转换

解：设A点在渐进线 上，B点在渐进线 上，

A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，线段AB中点 M(x，y)，

由＝30，得：，

又，

代入上式得：，化简得：

小结：

解析几何与函数、三角、数列、向量等知识联系密切，正是考查综合能力的地方。为此在学习时应抓住以下几点：

1. 客观题求解时应注意画图，抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决

教学重点：

掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程 (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 (4)了解圆锥曲线的初步应用

教学难点：

解析几何知识的综合运用，以及与其它知识的灵活运用。

　　 圆锥曲线的综合问题

22.甲、乙两袋均装有标有数字1、2、3、4、5的大小相同的小球各一个，从甲袋中任取1个小球，从乙袋中任取2个小球，用表示取出的3个小球上的最小数字。

求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

　　 (2)求P(=2或=3)的值

江西省丰城中学高二年级第五次月考

　 数学试题 (理科零班卷)　　 2009.3.14

　　　　　　　　　 命题人：熊海荣　　　　 审题人：黄汉乐