2. 如下表：
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分 组 |
频数 |
频 率 |
分 组 |
频数 |
频 率 |
|
[10.75，10.85) |
3 |
|
[11.25，11.35) |
20 |
|
|
[10.85，10.95) |
9 |
|
[11.35， 11.45) |
7 |
|
|
[10.95，11.05) |
13 |
|
[11.45， 11.55) |
4 |
|
|
[11.05，11.15) |
16 |
|
[11.55， 11.65) |
2 |
|
|
[11.15，11.25) |
26 |
|
合 计 |
100 |
|
⑴完成上面的频率分布表．
⑵根据上表，画出频率分布直方图．
⑶根据上表，估计数据落在[10.95，11.35)范围内的概率约为多少?
答案：⑴⑵略．
⑶数据落在[10.95，11.35)范围的频率为0.13+0.16+0.26+0.20=0.75
∴ 落在[10.95，11.35)内的概率约为0．75 
1. 为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为30的样本，检测结果为一级品5件，二级品8件，三级品13件，次品14件．
⑴列出样本频率分布表；
⑵画出表示样本频率分布的条形图；
⑶根据上述结果，估计此种商品为二级品或三级品的概率约是多少？
解：⑴样本的频率分布表为
|
产品 |
频数 |
频率 |
|
一级品 |
5 |
0.17 |
|
二级品 |
8 |
0.27 |
|
三级品 |
13 |
0.43 |
|
次品 |
4 |
0.13 |
⑵样本频率分布的条形图如右：
⑶此种产品为二极品或三极品的概率为0.27+0.43=0.7
例1．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5岁~18岁的男生的体重情况,结果如下(单位:kg)
|
56.5 |
69.5 |
65 |
61.5 |
64.5 |
66.5 |
64 |
64.5 |
76 |
58.5 |
|
72 |
73.5 |
56 |
67 |
70 |
57.5 |
65.5 |
68 |
71 |
75 |
|
62 |
68.5 |
62.5 |
66 |
59.5 |
63.5 |
64.5 |
67.5 |
73 |
68 |
|
55 |
72 |
66.5 |
74 |
63 |
60 |
55.5 |
70 |
64.5 |
58 |
|
64 |
70.5 |
57 |
62.5 |
65 |
69 |
71.5 |
73 |
62 |
58 |
|
76 |
71 |
66 |
63.5 |
56 |
59.5 |
63.5 |
65 |
70 |
74.5 |
|
68.5 |
64 |
55.5 |
72.5 |
66.5 |
68 |
76 |
57.5 |
60 |
71.5 |
|
57 |
69.5 |
74 |
64.5 |
59 |
61.5 |
67 |
68 |
63.5 |
58 |
|
59 |
65.5 |
62.5 |
69.5 |
72 |
64.5 |
75.5 |
68.5 |
64 |
62 |
|
65.5 |
58.5 |
67.5 |
70.5 |
65 |
66 |
66.5 |
70 |
63 |
59.5 |
试根据上述数据画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计
解:按照下列步骤获得样本的频率分布.
(1)求最大值与最小值的差.在上述数据中，最大值是76，最小值是55，它们的差(又称为极差)是76-55=21)所得的差告诉我们，这组数据的变动范围有多大.
(2)确定组距与组数.如果将组距定为2，那么由21÷2=10.5，组数为11，这个组数适合的.于是组距为2，组数为11.
(3)决定分点.根据本例中数据的特点，第1小组的起点可取为54.5，第1小组的终点可取为56.5，为了避免一个数据既是起点，又是终点从而造成重复计算，我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样，所得到的分组是
［54.5，56.5)，［56.5，58.5)，…，［74.5，76.5).
(4)列频率分布表,如表① 频率分布表
|
分组 |
频数累计 |
频数 |
频率 |
|
［54.5，56.5) |
|
2 |
0.02 |
|
［56.5，58.5) |
|
6 |
0.06 |
|
［58.5，60.5) |
|
10 |
0.10 |
|
［60.5，62.5) |
|
10 |
0.10 |
|
［62.5，64.5) |
|
14 |
0.14 |
|
［64.5，66.5) |
|
16 |
0.16 |
|
［66.5，68.5) |
|
13 |
0.13 |
|
［68.5，70.5) |
|
11 |
0.11 |
|
［70.5，72.5) |
|
8 |
0.08 |
|
［72.5，74.5) |
|
7 |
0.07 |
|
［74.5，76.5) |
|
3 |
0.03 |
|
合计 |
|
100 |
1.00 |
(5)绘制频率分布直方图.频率分布直方图如图所示
由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.在反映样本的频率分布方面，频率分布表比较确切，频率分布直方图比较直观，它们起着相互补充的作用.
在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体情况作出估计.例如可以估计，体重在(64.5，66.5)kg的学生最多，约占学生总数的16%；体重小于58.5kg的学生较少，约占8%；等等
例2．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
|
寿命(h) |
100-200 |
200-300 |
300-400 |
400-500 |
500-600 |
|
个数 |
20 |
30 |
80 |
40 |
30 |
出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和累计频率分布图；
(3)估计电子元件寿命在100h-400h以内的概率；
(4)估计电子元件寿命在400h以上的概率；
(5)估计总体的数学期望值
解：(1)
|
寿命 |
频数 |
频率 |
累计频率 |
|
100-200 |
20 |
0.1 |
0.10 |
|
200-300 |
30 |
0.15 |
0.25 |
|
300-400 |
80 |
0.40 |
0.65 |
|
400-500 |
40 |
0.20 |
0.85 |
|
500-600 |
30 |
0.15 |
1 |
|
合计 |
200 |
1 |
|
(2)频率分布直方图如右和累计频率分布图如下
(3)频率分布图可以看出，寿命在100h-400h的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在100h-400h的概率为0.65
(4)由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率为
0.20+0.15＝0.35，故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35
(5)样本的期望值为
所以，我们估计总体生产的电子元件寿命的期望值(总体均值)为365h
⒈频率分布表或频率分布条形图
历史上有人通过作抛掷硬币的大量重复试验，得到了如下试验结果：
|
试验结果 |
频数 |
频率 |
|
正面向上(0) |
36124 |
0.5011 |
|
反面向上(1) |
35964 |
0.4989 |
抛掷硬币试验的结果的全体构成一个总体，则上表就是从总体中抽取容量为72088的相当大的样本的频率分布表．尽管这里的样本容量很大，但由于不同取值仅有2个(用0和1表示)，所以其频率分布可以用上表和右面的条形图表示．其中条形图是用高来表示取各值的频率．
|
试验结果 |
概率 |
|
正面向上(记为0) |
0．5 |
|
反面向上(记为1) |
0．5 |
说明：⑴频率分布表在数量表示上比较确切，而频率分布条形图比较直观，两者相互补充，使我们对数据的频率分布情况了解得更加清楚．⑵①各长条的宽度要相同；②相邻长条之间的间隔要适当．
当试验次数无限增大时，两种试验结果的频率值就成为相应的概率，得到右表，除了抽样造成的误差，精确地反映了总体取值的概率分布规律．这种整体取值的概率分布规律通常称为总体分布.
说明：频率分布与总体分布的关系：
⑴通过样本的频数分布、频率分布可以估计总体的概率分布.
⑵研究总体概率分布往往可以研究其样本的频数分布、频率分布.
2.总体分布：总体取值的概率分布规律
在实践中，往往是从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计总体分布 一般地，样本容量越大，这种估计就越精确