130. 已知等腰DABC中，AC = BC = 2，ACB = 120°，DABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。
解析：解：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，
则OC是PC在平面ABC内的射影，
∴PCO是PC与面ABC所成的角。
∵ PA = PB = PC，
∴点P在底面的射影是DABC的外心，
注意到DABC为钝角三角形，
∴点O在DABC的外部，
∵AC = BC，O是DABC的外心，
∴OC⊥AB
在DOBC中，OC = OB， OCB = 60°，
∴DOBC为等边三角形，∴OC = 2
在RtDPOC中，
∴PCO = 60° 。
129. 如图平面SAC⊥平面ACB，ΔSAC是边长为4的等边三角形，ΔACB为直角三角形，∠ACB=90°，BC=，求二面角S-AB-C的余弦值。
解析：先作出二面角的平面角。由面面垂直可得线面垂直，作SD⊥平面ACB，然后利用三垂线定理作出二面角的平面角
解：过S点作SD⊥AC于D，过D作DM⊥AB于M，连SM
∵平面SAC⊥平面ACB
∴SD⊥平面ACB
∴SM⊥AB
又∵DM⊥AB
∴∠DMS为二面角S-AB-C的平面角
在ΔSAC中SD=4×
在ΔACB中过C作CH⊥AB于H
∵AC=4，BC=
∴AB=
∵S=1/2AB·CH=1/2AC·BC
∴CH=
∵DM∥CH且AD=DC
∴DM=1/2CH=
∵SD⊥平面ACB DMÌ平面ACB
∴SD⊥DM
在RTΔSDM中
SM=
=
∴cos∠DMS=
128. 正方形ABCD中，以对角线BD为折线，把ΔABD折起，使二面角Aˊ-BD-C 为60°，求二面角B-AˊC-D的余弦值
解析：要求二面角B-AˊC-D的余弦值，先作出二面角的平面角，抓住图形中AˊB=BC，AˊD=DC的关系，采用定义法作出平面角∠BED(E为AC的中点)然后利用余弦定理求解
解：连BD、AC交于O点
则AˊO⊥BD，CO⊥BD
∴∠AˊOC为二面角Aˊ-BD-C的平面角
∴∠AˊOC=60°
设正方形ABCD的边长为a
∵A′O=OC=1/2AC=
∠A′OC=60°
∴ΔA′OC为正三角形则A′C=
取A′C的中点，连DE、BE
∵A′B=BC
∴BE⊥A′C
同理DE⊥A′C
∴∠DEB为二面角B-A′C-D的平面角在ΔBA′C中
BE=
同理DE=
在ΔBED中，BD=
∴ cos∠BED=
=--
∴二面角B-A′C-D的余弦值为-
127. 已知空间四边形ABCD中，AB = BC =CD= AD = BD = AC, E、F分别为AB、CD的中点，
(1)求证：EF 为AB和CD的公垂线
(2)求异面直线AB和CD的距离
解析：构造等腰三角形证明EF 与AB、CD垂直，然后在等腰三角形中求EF
解；①连接BD和AC，AF和BF，DE和CE
设四边形的边长为a
∵ AD = CD = AC = a
∴ △ABC为正三角形
∵ DF = FC
∴ AF ^ DC 且AF =
同理 BF = A
即△ AFB为等腰三角形
在△ AFB中，
∵ AE = BE
∴ FE ^ AB
同理在 △ DEC中
EF ^ DC
∴ EF为异面直线AB和CD的公垂线
②在 △ AFB中
∵ EF ^ AB且
∴
∵
∴ EF为异面直线AB和CD的距离
∴ AB和CD的距离为
126．在60°的二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求P点到直线a的距离．
解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键．可以有不同的作法，下面仅以一个作法为例，说明这些概念的特点，分别作PA⊥M，M是垂足，PB⊥N，N是垂足，先作了两条垂线，找出P点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：于是PA、PB确定平面α，设α∩M=AC，α∩N=BC，c∈a．由于PA⊥M，则PA⊥a，同理PB⊥a，因此a⊥平面α，得a⊥PC．这样，∠ACB是二面角的平面角，PC是P点到直线a的距离，下面只要在四边形ACBP内，利用平面几何的知识在△PAB中求出AB，再在△ABC中利用正弦定理求外接圆直径2R＝，即为P点到直线a的距离，为．
125. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值是 ( )
(A) (B) (C) (D)
解析：选哪一点，如何作平行线是解决本题的关键，显然在EF上选一点作AC的平行线要简单易行，观察图形，看出F与A1C确定的平面A1CC1恰是正方体的对角面，在这个面内，只要找出A1C1的中点O，连结OF，这条平行线就作出了，这样，∠EFO即为异面直线A1C与EF所成的角．容易算出这个角的余弦值是，答案选B．
124. 二面角α-a-β是120°的二面角，P是该角内的一点．P到α、β的距离分别为a，b．求：P到棱a的距离．
解析：设PA⊥α于A，PB⊥β于B．过PA与PB作平面r与α交于AO，与β交于OB，
∵ PA⊥α，PB⊥β，∴ a⊥PA，且a⊥PB
∴ a⊥面r，∴ a⊥PO，PO的长为P到棱a的距离．
且∠AOB是二面角之平面角，∠AOB =120°
∴ ∠APB = 60°，PA = a，PB = b．
∵ ，
∴ ．
123. 河堤斜面与水平面所成角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿着这条直道从堤角向上行走到10米时，人升高了多少(精确到0.1米)？
解析： 已知 所求
河堤斜面与水平面所成角为60° E到地面的距离
利用E或G构造棱上一点F 以EG为边构造三角形
解：取CD上一点E，设CE＝10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度．
在河堤斜面内，作EF⊥AB．垂足为F，连接FG，由三垂线定理的逆定理，知FG⊥AB．因此，∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，∠EFG＝60°．
由此得：
EG＝EFsin60°
＝CE sin30°sin60°
＝10××≈4.3(m)
答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约4.3米．
122. 在四面体ABCD中，AB＝AD＝BD＝2，BC＝DC＝4，二面角A－BD－C的大小为60°，求AC的长．
解析：作出二面角A－BD－C的平面角
在棱BD上选取恰当的点
AB＝AD，BC＝DC
解：取BD中点E，连结AE，EC
∵ AB＝AD，BC＝DC
∴ AE⊥BD，EC⊥BD
∴ ∠AEC为二面角A－BD－C的平面角
∴ ∠AEC＝60°
∵ AD＝2，DC＝4
∴ AE＝，EC＝
∴ 据余弦定理得：AC＝．
121. 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．
求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．
分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．
解：因为 AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．
所以 AB∥平面CPD．
又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，
因此 平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．
所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．
因为 AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，
所以 AB∥l．
过P作PE⊥AB，PE⊥CD．
因为 l∥AB∥CD，
因此 PE⊥l，PF⊥l，
所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．
因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，
因为 E，F分别是AB，CD的中点，
所以 EF=BC=a．
在△EFP中，
ACB = 120°，DABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。
如图平面SAC⊥平面ACB，ΔSAC是边长为4的等边三角形，ΔACB为直角三角形，∠ACB=90°，BC=
，求二面角S-AB-C的余弦值。
又∵DM⊥AB
正方形ABCD中，以对角线BD为折线，把ΔABD折起，使二面角Aˊ-BD-C 为60°，求二面角B-AˊC-D的余弦值
A
在60°的二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求P点到直线a的距离．
，即为P点到直线a的距离，为
(B)
(C)
(D)
解析：选哪一点，如何作平行线是解决本题的关键，显然在EF上选一点作AC的平行线要简单易行，观察图形，看出F与A1C确定的平面A1CC1恰是正方体的对角面，在这个面内，只要找出A1C1的中点O，连结OF，这条平行线就作出了，这样，∠EFO即为异面直线A1C与EF所成的角．容易算出这个角的余弦值是
，
．
由此得：
×
≈4.3(m)
AB＝AD，BC＝DC
，EC＝
．
平面CPD，AB 
平面CPD．
