2.(2004年江苏，7)(2x+)⁴的展开式中x³的系数是

A.6　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.12　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.24　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.48

1.已知(1－3x)⁹=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₉x⁹，则｜a₀｜+｜a₁｜+｜a₂｜+…+｜a₉｜等于

A.2⁹　　　 　　　　　　　 B.4⁹　　　 　　　　　　　　 C.3⁹　　　 　　　　　　　　 D.1

3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.

2.二项展开式的性质是解题的关键.

1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.

11.解法一：先取人，后取位子.

1，1，1，3：6人中先取3人有C种取法，与剩余3人分到4所学校去有A种不同分法，∴共CA种分法；

1，1，2，2：6人中取2人、2人、1人、1人的取法有C·C·C种，然后分到4所学校去，有种不同的分法，共C·C·C·种分法.所以符合条件的分配方法有CA+C·C·C·=1560种.

解法二：先取位子，后取人.

1，1，1，3：取一个位子放3个人，有C种取法，6人中分别取3人、1人、1人、1人的取法有C·C·C·C种，∴共有C·C·C·C·C种.

1，1，2，2：先取2个位子放2(其余2个位子放1)有C种取法，6人中分别取2人，2人，1人，1人的取法有C·C·C·C种，共有C·C·C·C·C种.

所以符合条件的分配方法有C·C·C·C+C·C·C·C=1560种.

10.解法一：依题意，给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：

第一类，用4种颜色涂色，有A种方法；

第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有C种；在涂的过程中，选对顶的两部分(A、C或B、D)涂同色，另两部分涂异色有C种选法；3种颜色涂上去有A种涂法.共C·C·A种涂法；

第三类，用两种颜色涂色.选颜色有C种选法；A、C与B、D各涂一色有A种涂法.共C·A种涂法.

所以共有涂色方法A+C·C·A+C·A=260种.

解法二：区域A有5种涂色法；区域B有4种涂色法；区域C的涂色法有2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色法，区域D也有3种涂色法.

所以共有5×4×4+5×4×3×3=260种涂色法.

9.解：设这个团中有男人x人，则有女人18－x人，根据题意得C· C=64.解得x=10.

∴这个团中有男10人，女8人.

8. 解法一：添加的三个节目有三类办法排进去：①三个节目连排，有CA种方法；②三个节目互不相邻，有A种方法；③有且仅有两个节目连排，有CCCA种方法.根据分类计数原理共有CA+A+CCCA=504种.

解法二：从结果考虑，排好的节目表中有9个位置，先排入三个添加节目有A种方法，余下的六个位置上按6个节目的原有顺序排入只有一种方法.故所求排法为A=504种.

解法三：=504.

评述：插空法是处理排列、组合问题常用的方法.

5.把四位乘客当作4个元素作全排列有A种排法，将一个空位和余下的4个空位作为一个元素插空有A种排法.∴A·A=480.

答案：480

例题分析

例1.解法一：问题分成三类：(1)甲、乙两人均不参加，有A种；(2)甲、乙两人有且仅有一人参加，有2C(A－A)种；(3)甲、乙两人均参加，有C(A－2A+A)种.故共有252种.

解法二：六人中取四人参加的种数为A，除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有C A种，因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A减去了两次.故共有A－C A+A=252种.

评述：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种方法处理.

例2.解：C(CC)A=576，第5次必测出一次品，余下3件在前4次被测出，从4件中确定最后一件品有C种方法，前4次中应有1正品、3次品，有CC种，前4次测试中的顺序有A种，由分步计数原理即得.

评述：本题涉及一类重要问题，即问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素(即组合)后排列.

例3.解：依题意，A、B两种作物的间隔至少6垄，至多8垄.(1)间隔6垄时，有3×A种；(2)间隔7垄时，有2×A种.(3)间隔8垄时，有A种.所以共有3A+2A+A=12种种植方法.

例4.解法一：分类讨论法.

(1)前排一个，后排一个，2C·C=192.

(2)后排坐两个(不相邻)，

2(10+9+8+…+1)=110.

(3)前排坐两个，2·(6+5+…+1)+2=44个.

∴总共有192+110+44=346个.

解法二：考虑中间三个位置不坐，4号座位与8号座位不算相邻.

∴总共有A+2+2=346个.

答案：B

评述：本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用.这是一道难度较大的小综合题.

例5.解：(1)先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×)，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓)，从4个空当中选2个插入，有C种插法；二是2张同时插入，有C种插法，再考虑3人可交换有A种方法.

所以，共有A(C+C)=60(种).

下面再看另一种构造方法：

先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排空椅子，有AC种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有1种插法，所以所求的坐法数为A·C=60.

(2)可先让4人坐在4个位置上，有A种排法，再让2个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空当”之间，有A种插法，所以所求的坐法数为A·A=480.

例6.证法一：由二项式定理(1+m)ⁿ=Cm⁰+Cm¹+…+Cmⁿ，

(1+n)^m=Cn⁰+Cn¹+…+C，

又因为C=，C=，

而Amⁱ>A，所以Cm²>C，C>Cn³，…，C>C.

又因为C=C，C=C，

所以(1+m)ⁿ>(1+n)^m.

证法二：(1+m)ⁿ>(1+n)^m

nln(1+m)>mln(1+n)

>.

令f(x)=，x∈［2，+∞］，

只要证f(x)在［2，+∞］上单调递减，只要证f ′(x)<0.

f ′(x)==.

当x≥2时，x－lg(1+x)<0，

x²(1+x)>0，得f ′(x)<0，即x∈［2,+∞］时，f ′(x)<0.

以上各步都可逆推，得(1+m)ⁿ>(1+n)^m.

作业：1-4　 BBDBB　 6. 42　 7.　 5