2.若不等式对一切恒成立，则的取值范围是　 (　　　 )

A.　　　　　 B.　　　　　　　　　 C.　 　　　　　　 　　　D.

1．已知函数，若，则的所有可能值为(　　 )

A.1　　　　　　　　 B.1或　　　　　　　 C.　　　　　　 D. 1或

10．(2006北京)已知点，动点满足条件．记动点的轨迹为．

　　　 (Ⅰ)求的方程；

　　　 (Ⅱ)若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值．

解法一：

　(Ⅰ)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=．

又半焦距c=2。故虚半轴长b=，

所以W的方程为

(Ⅱ)设A、B的坐标分别为(x₁y₁)，(x₂y₂)．

当轴时，，从而。

当与轴不垂直时，设直线的方程为，与的方程联立，消去得

，

故

所以

又因为，所以，从而．

综上，当轴时，取得最小值2．

解法二：

　 (Ⅰ)同解法一．

　 (Ⅱ)设、的坐标分别为，则

　 令，

　 　则，且，，所以

当且仅当，即时“=”成立．

所以的最小值是2．

[探索题](2006安徽)如图，为双曲线的右焦点，为双曲线右支上一点，且位于轴上方，为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。

(Ⅰ)写出双曲线的离心率与的关系式；

(Ⅱ)当时，经过焦点且平行于的直线交双曲线于两点，若，求此时的双曲线方程。

(Ⅰ)解法1：设M′为PM与双曲线右准线的交点，F(c，0)，则

即

解法2：设为与双曲线右准线的交点，N为左准线与x轴的交点．

由于在双曲线右支上，则

　　　　　 ①

　　　　　　　　　　 ②

由得

　　　　　　　　 ③

将①、②代入③得

再将代入上式，得

化简，得

　　　　 　　　　　　　　　　　　④

由题意，点P位于双曲线右支上，从而

于是即又所以由④式得

(Ⅱ)解：当时，由解得

从而，

由此得双曲线得方程是

下面确定的值

解法1：

设双曲线左准线与x轴的交点为N，P点的坐标为()，则

，

由于P在双曲线的右支上，且位于x轴上方，因而

，

所以直线OP的斜率为

设过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为A、B，则

直线AB的斜线为，直线AB的方程为

将其代入双曲线方程整理得

　　 ，

　　　 ＝

由得，于是，所求双曲线得方程为

解法2．由条件知为菱形，其对角线OP与FM互相垂直平分，

其交点Q为OP得中点

9．已知抛物线C：y²=4(x－1)，椭圆C₁的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线l分别重合．

(1)设B是椭圆C₁短轴的一个端点，线段BF的中点为P，求点P的轨迹C₂的方程；

(2)如果直线x+y=m与曲线C₂相交于不同两点M、N，求m的取值范围．

(1)解法一：由y²=4(x－1)知抛物线C的焦点F坐标为(2，0)．准线l的方程为x=0．设动椭圆C₁的短轴的一个端点B的坐标为(x₁，y₁)(x₁＞2，y₁≠0)，点P(x，y)，

y=，　　　　　 y₁=2y．

∴B(2x－2，2y)(x＞2，y≠0)．

设点B在准线x=0上的射影为点B′，椭圆的中心为点O′，则椭圆离心率e=，由=，得=，

整理，化简得y²=x－2(y≠0)，这就是点P的轨迹方程．

解法二：抛物线y²=4(x－1)焦点为F(2，0)，准线l：x=0．设P(x，y)，

∵P为BF中点，

∴B(2x－2，2y)(x＞2，y≠0)．设椭圆C₁的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，

则c=(2x－2)－2=2x－4，b²=(2y)²=4y²，

∵(－c)－(－)=2，

∴=2，

即b²=2c．∴4y²=2(2x－4)，

即y²=x－2(y≠0)，此即C₂的轨迹方程．

y²=x－2

m＞．

而当m=2时，直线x+y=2过点(2，0)，这时它与曲线C₂只有一个交点，

∴所求m的取值范围是(，2)∪(2，+∞)．

8．(2006上海) 在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点　

(1)求证：“如果直线过点T(3，0)，那么＝3”是真命题；

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由　

[解](1)设过点T(3,0)的直线交抛物线y²=2x于点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)　

　　　　 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－)　　　　 　　　∴=3；

　　　　 当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，

　　　　 由得

　　　　 又 ∵ ，

　　 ∴，

　　 综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；

(2)逆命题是：设直线交抛物线y²=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0)　 该命题是假命题　

　 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,

直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；

说明：由抛物线y²=2x上的点A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂) 满足=3，可得y₁y₂=－6，

或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y₁y₂=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0)　

7． 正方形ABCD中，一条边AB在直线y=x+4上，另外两顶点C、D在抛物线y²＝x上，求正方形的面积．

解：设CD所在直线的方程为y=x+t，

y²=x，　

x²+(2t－1)x+t²=0，

∴｜CD｜＝

＝．

又直线AB与CD间距离为｜AD｜＝，

∵｜AD｜＝｜CD｜，

∴t=－2或－6．

从而边长为3或5．

面积S₁＝(3)²＝18，S₂=(5)²=50．

6．设过焦点F(1，0)的直线为y=k(x－1)(k≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

代入抛物线方程消去y得k²x²－2(k²+2)x+k²=0．

∵k²≠0，∴x₁+x₂=，

|AB|=x₁+x₂+2=8, x₁+x₂=6． 可得k²=1．

∴△OAB的重心的横坐标为x==2．

．法2： 由|AB|==8， 得k²=1…．．

[解答题]

5．设直线l与椭圆交于P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)，

将P₁、P₂两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率

k==－= －=－．

由点斜式可得l的方程为x+2y－8=0．

答案：x+2y－8=0

4．当x>0时，双曲线的渐近线为：，而直线y=x+3的斜率为1，1<3/2，因此直线与双曲线的下支有一交点，又y=x+3过椭圆的顶点，k=1>0因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3个交点，选D

2．直线y－kx－1=0恒过点(0，1)，仅当点(0，1)在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点．所以，≤1且m＞0，得m≥1．故本题应选C．