21. (本小题满分12分)

已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.

20. 解：(1)∵ 点 在直线上， ∴，　 ……(1分)

当n=1时，，　　 ……(2分)

又 则，∴ 　　　……(4分)

(2) 由 (1) 知 　①，　 当时， ②　 ……(6分)

①－②，得 ， 　　　　　　……(8分)

又，易见，∴ 　　　……(9分)

所以，是等比数列.　　　 ……(10分)

(3)由(2)知，的公比为2，　　 ……(11分)

所以 .　 　……(12分)

20．(本题满分12分)

已知数列的前项和为，，且点在直线上　

(1)求k的值；

(2)求证是等比数列；

(3)求的值.

19．(本小题满分12分)

在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁A=AB=3，AC=3，∠CAB=90°，P、Q分别为棱BB₁、CC₁上的点，且BP=BB₁，CQ=CC₁.

(1)求平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小.

(2)在线段A₁B(不包括两端点)上是否存在一点M，使AM+MC₁最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.

[解析](1)建立如图所示空间直角坐标系A－xyz.

A(0，0，0)，P(3，0，)，Q(0，3，2)，

=(3，0，)，=(0，3，2).

设平面APQ的一个法向量为n₁=(x,y,z)

令z=3，则x=－1，y=－2，∴n₁=(－1，－2，3)

平面ABC的一个法向量n₂=(0，0，1).

∴cos〈n₁，n₂〉=

∴平面APQ与面ABC所成的锐角大小为45°.　 (6分)

(1)问也可用传统方法求解.(并参照计分)

(2)沿A₁B将面A₁BC₁与面A₁BA展开，连结AC₁与A₁B交于点M，此时AM+MC₁有最小值.

∵∠A₁AB=90°，AA₁=AB，∴∠A₁AB=45°，又C₁A₁⊥面ABB₁A₁，∴C₁A₁⊥A₁B.

∴△AA₁C₁中，∠AA₁C₁=135°

AC₁=,

∴存在点M，使AM+MC₁取最小值为3.　 (12分)

17、(本小题满分10分)

设函数，其中向量，，，且的图象经过点．

(Ⅰ)求实数的值；

(Ⅱ)求函数的最小值及此时值的集合．

解：(Ⅰ)，

由已知，得．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，

当时，的最小值为，

由，得值的集合为．

(18)(本小题满分12分)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.

(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;

(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率.

(18)本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。

解：(Ⅰ)记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A

　 用对立事件A来算，有

(Ⅱ)可能的取值为

，，

记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率

所以商家拒收这批产品的概率为

　　 15,　　　　　　　　　　　 　　　 16,　　　　　　　　　　 　　　

16、函数的单调递增区间是＿＿＿＿．

15．设直线ax－y+3=0与圆(x－1)²+(y－2)²=4相交于A、B两点，且弦长为，则a=　 0 　.

14、设等差数列的公差是2，前项的和为，则3

13．点到直线的距离等于4，且在不等式表示的平面区域内，则点P的坐标是　　 (7，3)　　　　 .