2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；

2．向量在空间中的应用

在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。

在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键。

本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底{i，j，k}建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a·b=|a|·|b|cos<a，b>在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记。

对本讲内容的考查主要分以下三类：

1．以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质

此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。

题型1：空间向量的概念及性质

例1．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是(　　　 )

①②　　　 ①③　　　 ②③　　　 ①②③

解析：对于①“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。

点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。

例2．下列命题正确的是(　　　 )

若与共线，与共线，则与共线；

向量共面就是它们所在的直线共面；

零向量没有确定的方向；

若，则存在唯一的实数使得；

解析：A中向量为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证不为零向量。

答案C。

点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。

题型2：空间向量的基本运算

例3．如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是(　 )

解析：显然；

答案为A。

点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。

例4．已知：且不共面.若∥,求的值.

解：∥,,且即

又不共面,

点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

题型3：空间向量的坐标

例5．(1)已知两个非零向量=(a₁，a₂，a₃)，=(b₁，b₂，b₃)，它们平行的充要条件是(　)

A. ：||=：||　　　　　　B.a₁·b₁=a₂·b₂=a₃·b₃

C.a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0　　　　　　D.存在非零实数k，使=k

(2)已知向量=(2，4，x)，=(2，y，2)，若||=6，⊥，则x+y的值是(　)

A. －3或1　　　 B.3或－1　　　 C. －3　　　 D.1

(3)下列各组向量共面的是(　)

A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)

B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)

C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)

D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)

解析：(1)D；点拨：由共线向量定线易知；

(2)A　点拨：由题知或；

(3)A　点拨：由共面向量基本定理可得。

点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。

例6．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)。设=，=，(1)求和的夹角；(2)若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.

思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.

解：∵A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，=，=，

∴=(1，1，0)，=(－1，0，2).

(1)cos==－，

∴和的夹角为－。

(2)∵k+=k(1，1，0)+(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，

k－2=(k+2，k，－4)，且(k+)⊥(k－2)，

∴(k－1，k，2)·(k+2，k，－4)=(k－1)(k+2)+k²－8=2k²+k－10=0。

则k=－或k=2。

点拨：第(2)问在解答时也可以按运算律做。(+)(k－2)=k²²－k·－2²=2k²+k－10=0，解得k=－，或k=2。

题型4：数量积

例7．(2000江西、山西、天津理，4)设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①(·)－(·)=　 ②||－||<|－|　 ③(·)－(·)不与垂直

④(3+2)(3－2)=9||²－4||²中，是真命题的有(　　 )

A.①②　 　　　　　　　　　 B.②③　 　　　　　　　　　　 C.③④　 　　　　　　　　　　 D.②④

答案：D

解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；

②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；

③因为［(·)－(·)］·=(·)·－(·)·=0，所以垂直.故③假；

④(3+2)(3－2)=9··－4·=9||²－4||²成立.故④真.

点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。

例8．(1)(2002上海文，理2)已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则(2－)·=_____.

(2)设空间两个不同的单位向量=(x₁，y₁，0)，=(x₂，y₂，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。(1)求x₁+y₁和x₁y₁的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。

解析：(1)答案：13；解析：∵(2－)·=2²－·=2||²－||·||·cos120°=2·4－2·5(－)=13。

(2)解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1.

又∵与的夹角为，∴·=||||cos==.

又∵·=x₁+y₁，∴x₁+y₁=。

另外x+y=(x₁+y₁)²-2x₁y₁=1，∴2x₁y₁=()²－1=.∴x₁y₁=。

(2)cos<，>==x₁x₂+y₁y₂，由(1)知，x₁+y₁=，x₁y₁=.∴x₁，y₁是方程x²－x+=0的解.

∴或同理可得或

∵≠，∴或

∴cos<，>=·+·=+=.

∵0≤<，>≤π，∴<，>=。

评述：本题考查向量数量积的运算法则。

题型5：空间向量的应用

例9．(1)已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：++≤4。

(2)已知F₁=i+2j+3k，F₂=-2i+3j-k，F₃=3i-4j+5k，若F₁，F₂，F₃共同作用于同一物体上，使物体从点M₁(1，-2，1)移到点M₂(3，1，2)，求物体合力做的功。

解析：(1)设=(，，)，=(1，1，1)，

则||=4，||=.

∵·≤||·||，

∴·=++≤||·||=4.

当==时，即a=b=c=时，取“=”号。

(2)解：W=F·s=(F₁+F₂+F₃)·=14。

点评：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，则由·≤||·||，得(ax+by+cz)²≤(a²+b²+c²)(x²+y²+z²).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查||·||≥·的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。

例10．如图,直三棱柱中,求证:

证明：

同理

又

设为中点,则

又

点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件。

6．数量积

(1)夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角∠AOB叫做向量与的夹角，记作

说明：⑴规定0≤≤,因而=；

⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥；

⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图(3)、(4)中的两个向量的夹角不同，

图(3)中∠AOB=，

图(4)中∠AOB=,

从而有==.

(2)向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

(3)向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。

即=，

向量:

(4)性质与运算率

⑴。　　　　　 ⑴

⑵⊥=0　　　　　 ⑵=

⑶　　　　　　　　 ⑶

5．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, 　y, 　z,　 使

说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使

4．向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。注意：向量∥与直线a∥的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理　 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使

④

或对空间任一定点O，有⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对(x, y)是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。

又∵代入⑤，整理得

　　　　 ⑥

由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一(它们只是形式不同的同一等式)，点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、(或不共线三点M、A、B)确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。

　 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量(≠)、，∥的充要条件是存在实数使＝

注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥(≠0)，则有＝，其中是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数，使＝(≠0)，则有∥(若用此结论判断、所在直线平行，还需(或)上有一点不在(或)上)。

⑵对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为 ||，当>0时与同向，当<0时与反向的所有向量。

⑶若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。

推论：如果　l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式　

　　　　　　　　　 ①

其中向量叫做直线l的方向向量。

在l上取，则①式可化为　　　　 　②

当时，点P是线段AB的中点，则　 　　③

①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

2．向量运算和运算率

加法交换率：

加法结合率：

数乘分配率：

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。