17.(山东18)(本小题满分12分)

　　 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,　 AA=2,　 E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。

(1)　　　 证明：直线EE//平面FCC；

(2)　　　 求二面角B-FC-C的余弦值。　 　

解法一：(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中点F₁，

连接A₁D，C₁F₁，CF₁，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD为平行四边形，所以CF₁//A₁D，

又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因为平面FCC，平面FCC，

所以直线EE//平面FCC.

(2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC₁⊥平面ABCD,所以CC₁⊥BO,所以OB⊥平面CC₁F,过O在平面CC₁F内作OP⊥C₁F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC₁F中, △OPF∽△CC₁F,∵∴,　　 　

在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.

解法二:(1)因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,

所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,

连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM为x轴,DC为y轴,DD₁为z轴建立空间直角坐标系,

,则D(0,0,0),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),

C₁(0,2,2),E(,,0),E₁(,-1,1),所以,,设平面CC₁F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC.　　 　

(2),设平面BFC₁的法向量为,则所以,取,则,

,,　　 　

所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为.　　 　

[命题立意]:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.

16. (宁夏海南19)(本小题满分12分)如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅰ)求证：AC⊥SD；　　　　

(Ⅱ)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，　　　　

使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；

若不存在，试说明理由。

解法一：

　　 (Ⅰ)连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.

　　　 (Ⅱ)设正方形边长，则。

又，所以,

　　　 连，由(Ⅰ)知,所以,　　　

且,所以是二面角的平面角。

由,知,所以,

即二面角的大小为。

　 (Ⅲ)在棱SC上存在一点E，使

由(Ⅱ)可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

解法二：

　　 (Ⅰ)；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。

　 设底面边长为，则高。

于是　 　　　　

故　　 　　， 从而　

　(Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，

设所求二面角为，则,所求二面角的大小为

(Ⅲ)在棱上存在一点使.由(Ⅱ)知是平面的一个法向量，且　

设　　 　则

而 ，即当时，　　 　　

而不在平面内，故

15. (辽宁18) (本小题满分12分)

如图，己知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，

M，N分别为AB , DF的中点。

(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF

所成角的正弦值；

(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。

　(18)解：(1)解法一：取CD的中点G，连结MG，NG， .

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，

则MG⊥CD ，MG=2，NG= ， .

因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF 。

可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。

因为MN=，所以 ，故MN与平面DCEF所成的角的正弦值为.

解法二：

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.

则M(1，0，2)，N(0，1，0)，可得，

又为平面DCEF的法向量，

可得，

所以MN与平面DCEF所成的角的正弦值为.

(2)假设直线ME与BN共面，

则 AB平面MBEN ，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，

由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF .

又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB∥EN，又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立.

所以ME与BN不共面，它们是异面直线.

14. (广东18)(本小题满分14分)如图6，已知正方体的棱长为2，点E是正方形的中心，点F、G分别是棱的中点．设点分别是点E，G在平面内的正投影．

(1)求以E为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

(2)证明：直线；

(3)求异面直线所成角的正统值

解：(1)依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为

　，

又面，，∴.

(2)以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，

∴，，即，，

又，∴平面.

(3)，，则，设异面直线所成角为，则.

13. (福建17)(13分)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，

，且MD=NB=1，E为BC的中点

(1)　　　 求异面直线NE与AM所成角的余弦值

(2)　　　 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由　 　　　　　　　　　　　　　　　　

解析：(1)在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标

依题意，得。

，

所以异面直线与所成角的余弦值为.A

(2)假设在线段上存在点，使得平面.

,可设

又.

由平面，得即

故，此时.

经检验，当时，平面.

故线段上存在点，使得平面，此时.

12. (安徽18)(本小题满分13分)

如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

(I)求二面角B－AF－D的大小；

(II)求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积.

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。

解：(I)(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，

G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。

于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角B－AF－D 的平面角。

由， ，得，

由，得

(向量法)以A为坐标原点，、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)

设平面ABF的法向量，则由得

令，得，

同理，可求得平面ADF的法向量。

由知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。

(II)连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。

因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而

由得。

又因为

故四棱锥H-ABCD的体积

11．(辽宁15)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)，

则该几何体的体积为_________m³。

答案：4　 解析：设几何体的直观图如右，

则。

10.(浙江17)如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除

外)上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点

作，为垂足．设，则的取值范围是　　　　　　 ．

答案：　 [解析]此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是

9.(浙江12)若某几何体的三视图(单位：)如图所示，

则此几何体的体积是　　　　　 ．

答案：18 　

解析：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，

上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18

8. (江苏12)设和为不重合的两个平面，给出下列命题：

(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；

(2)若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；

(3)设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；

(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。

上面命题中，真命题的序号　 ▲　　 (写出所有真命题的序号).

解析：考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题的序号是(1)(2)