摘要： 如图.己知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内. M.N分别为AB , DF的中点. (1)若平面ABCD⊥平面DCEF.求直线MN与平面DCEF 所成角的正弦值, (2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线. 解法一:取CD的中点G.连结MG.NG. . 设正方形ABCD.DCEF的边长为2. 则MG⊥CD .MG=2.NG= . . 因为平面ABCD⊥平面DCEF.所以MG⊥平面DCEF . 可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角. 因为MN=.所以 .故MN与平面DCEF所成的角的正弦值为. 解法二: 设正方形ABCD.DCEF的边长为2.以D为坐标原点.分别以射线DC.DF.DA为x.y.z轴正半轴建立空间直角坐标系如图. 则M.可得. 又为平面DCEF的法向量. 可得. 所以MN与平面DCEF所成的角的正弦值为. (2)假设直线ME与BN共面. 则 AB平面MBEN .且平面MBEN与平面DCEF交于EN. 由已知.两正方形不共面.故AB平面DCEF . 又AB∥CD.所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线. 所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF.所以EN∥EF.这与EN∩EF=E矛盾.故假设不成立. 所以ME与BN不共面.它们是异面直线.

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