17．(本小题满分12分)

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：

(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率；　　

(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.

解: 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件　　　 i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，

相互独立，(i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同)相互独立，

且

(Ⅰ)他们选择的项目所属类别互不相同的概率

　　　　　　　　　　　　　 P=

(Ⅱ)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率　 　　　　　

　　　　　 P=

　18．(本小题满分12分)

　 如图3，在正三棱柱中，

AB=4, ,点D是BC的中点，

点E在AC上，且DEE.

(Ⅰ)证明：平面平面; 　　

(Ⅱ)求直线AD和平面所成角的正弦值。

解:(Ⅰ)如图所示，由正三棱柱的性质知平面.

又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,

所以DE⊥平面.又DE 平面，

故平面⊥平面.

　(Ⅱ)解法 1: 　过点A作AF垂直于点,

连接DF.由(Ⅰ)知，平面⊥平面，

所以AF平面,故是直线AD和

平面所成的角。　 　因为DE，

所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，

于是AD=，AE=4-CE=4-=3.

又因为，所以E= = 4, 　 　　　　　

　,　 .

即直线AD和平面所成角的正弦值为　　 .

解法2 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，

则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,),　 (2,0,), D(-1, ,0),　 E(-1,0,0).

易知=(-3，，-)，=(0，-，0)，=(-3，，0).

设是平面的一个法向量，则

解得.

故可取.于是　　

=　　 . 　 　　　　　

由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为　　 　.

16．(每小题满分12分)

　 已知向量

(Ⅰ)若，求的值；　 　　　　　

(Ⅱ)若求的值。　　

解：(Ⅰ) 因为，所以

于是，故

(Ⅱ)由知，

所以

从而，即，

于是.又由知，，

所以，或.

因此，或　　

15．如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则

　　 　　， .　 　　

图2

解:作,设，,

由解得故

14．在锐角中，则的值等于　 2 　　，

的取值范围为 　. 　 　　　　　

解: 设由正弦定理得

由锐角得，

又，故，

13．过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，

　　 切点分别为A，B，若(O是坐标原点)，则双曲线线C的离心率为 　2 　.

解: ,

12． 一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。

已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为　 120 　.

解: 设总体中的个体数为，则

11．在的展开式中，的系数为 　6　 　(用数字作答).

解: ，故得的系数为

10．若，则的最小值为　　 　　　. 　 　　　　　

解: ，当且仅当时取等号.

把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项

运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为　 12 　　.

解: 设所求人数为，则只喜爱乒乓球运动的人数为，

故.　　 注：最好作出韦恩图！

8．设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数

取函数。当=时，函数的单调递增区间为[ C ]

A ．　　　 B．　　　　 C ．　　　 D ．

解: 函数，作图易知，

故在上是单调递增的，选C.