2．关于加速度的方向，下列说法中正确的是(　)

A．总与初速度方向一致

B．总与平均速度方向一致

C．总与速度变化的方向一致

D．总与位移的方向一致

[解析]　加速度的方向与速度变化的方向一致，与初速度、平均速度及位移的方向没有关系．

[答案]　C

1．关于加速度的概念，下列说法正确的是(　)

A．加速度就是加出来的速度

B．加速度反映了速度变化的大小

C．加速度反映了速度变化的快慢

D．加速度为正值，表示速度的大小一定越来越大

[解析]　加速度是反映速度变化快慢的物理量，等于速度的变化量与所用时间的比值，而速度变化量的大小与所取时间长短无关，故C正确，B错误．加速度为正值，说明加速度的方向与所取正方向一致，这与速度变大变小无关．速度是否增加，取决于加速度方向与速度方向的关系，故D错．

[答案]　C

4.速度变化快慢的描述--加速度

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)

15．已知双曲线x²－y²＝2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A、B两点，点C的坐标是(1,0)．

(Ⅰ)证明： ·为常数；

(Ⅱ)若动点M满足＝++(其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程．

解：由条件知F(2,0)，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

(Ⅰ)当AB与x轴垂直时，可设点A、B的坐标分别为(2，)、(2，－)，此时·＝(1，)·(1，－)＝－1.

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y＝k(x－2)(k≠±1)．

代入x²－y²＝2有(1－k²)x²+4k²x－(4k²+2)＝0.

则x₁、x₂是上述方程的两个实根，所以x₁+x₂＝，x₁x₂＝.

于是·＝(x₁－1)(x₂－1)+y₁y₂

＝(x₁－1)(x₂－1)+k²(x₁－2)(x₂－2)

＝(k²+1)x₁x₂－(2k²+1)(x₁+x₂)+4k²+1

＝－+4k²+1

＝(－4k²－2)+4k²+1＝－1.

综上所述，·为常数－1.

(Ⅱ)解法一：设M(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(x₁－1，y₁)，＝(x₂－1，y₂)，＝(－1,0)．由＝++得：，即

于是AB的中点坐标为(，)．

当AB不与x轴垂直时，＝＝，即y₁－y₂＝(x₁－x₂)．

又因为A、B两点在双曲线上，所以x－y＝2，x－y＝2，两式相减得

(x₁－x₂)(x₁+x₂)＝(y₁－y₂)(y₁+y₂)，即(x₁－x₂)(x+2)＝(y₁－y₂)y.

将y₁－y₂＝(x₁－x₂)代入上式，化简得x²－y²＝4.

当AB与x轴垂直时，x₁＝x₂＝2，求得M(2,0)，也满足上述方程．

所以点M的轨迹方程是x²－y²＝4.

解法二：同解法一得.①

当AB不与x轴垂直时，由(Ⅰ)有x₁+x₂＝，②

y₁+y₂＝k(x₁+x₂－4)＝k(－4)＝.③

由①、②、③得x+2＝， ④

y＝.⑤

当k≠0时，y≠0，由④、⑤得，＝k，将其代入⑤有y＝＝.整理得x²－y²＝4.

当k＝0时，点M的坐标为(－2,0)，满足上述方程．

当AB与x轴垂直时，x₁＝x₂＝2，求得M(2,0)，也满足上述方程．

故点M的轨迹方程是x²－y²＝4.

14．已知两条直线l₁：2x－3y+2＝0和l₂：3x－2y+3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l₁、l₂都相交，且l₁、l₂被圆截得的弦长分别是定值26和24，求圆心的轨迹方程．

解：设动圆的圆心为M(x，y)，半径为r，点M到直线l₁，l₂的距离分别为d₁和d₂.

由弦心距、半径、半弦长间的关系得，

即

消去r得动点M满足的几何关系为d－d＝25，

即－＝25.

化简得(x+1)²－y²＝65.

此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程．

13.

如右图所示，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|=2a(a>0)，|CD|=2b(b>0)，动点P满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.求动点P的轨迹方程．

解：以O为坐标原点，直线AB、CD分别为x轴、y轴建立直角坐标系，

12.

如右图所示，已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程．

解法一：(参数法)：设M的坐标为(x，y)．

若直线CA与x轴垂直，则可得到M的坐标为(1,1)．

若直线CA不与x轴垂直，设直线CA的斜率为k，则直线CB的斜率为－，故直线CA方程为：y＝k(x－2)+2，

令y＝0得x＝2－，则A点坐标为(2－，0)．

CB的方程为：y＝－(x－2)+2，令x＝0，得y＝2+，

则B点坐标为(0,2+)，由中点坐标公式得M点的坐标为①

消去参数k得到x+y－2＝0(x≠1)，

点M(1,1)在直线x+y－2＝0上，

综上所述，所求轨迹方程为x+y－2＝0.

解法二：(直接法)设M(x，y)，依题意A点坐标为(2x,0)，B点坐标为(0,2y)．

∵|MA|＝|MC|，

∴＝，

化简得x+y－2＝0.

解法三：(定义法)依题意|MA|＝|MC|＝|MO|，

即：|MC|＝|MO|，所以动点M是线段OC的中垂线，故由点斜式方程得到：x+y－2＝0.

11．已知△ABC的边AB长为6，点C到A、B两点的距离之比为2∶1，则点C的轨迹方程为________．

答案：(x－5)²+y²＝16(y≠0)

解析：

以AB所在直线为x轴，线段AB中点为原点，建立平面直角坐标系，则A(-3,0)，B(3,0)．设C(x，y)，

由题意=2，

10．平面上有三点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为________．

答案：y²＝8x

解析：＝(2，－)， ＝(x，)．

∵⊥，∴·＝0，得2·x－·＝0，

得y²＝8x.

9．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．

答案：(x－10)²+y²＝36(y≠0)

解法一：直接法，设A(x，y)，y≠0，则D(，)，

∴|CD|＝＝3，

化简得：(x－10)²+y²＝36，由于A、B、C三点构成三角形，

所以A不能落在x轴上，即y≠0.

解法二：

定义法．如右图所示，设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E，

∵|CD|=3，∴|AE|=6，则E(10,0)

∴A到E的距离为常数6，

∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，

即(x-10)²+y²=36，又A、B、C不共线，故A点纵坐标y≠0，

故A点轨迹方程为(x-10)²+y²=36(y≠0)．