摘要：15．已知双曲线x2-y2＝2的右焦点为F.过点F的动直线与双曲线相交于A.B两点.点C的坐标是(1,0)． (Ⅰ)证明: ·为常数, (Ⅱ)若动点M满足＝++(其中O为坐标原点).求点M的轨迹方程． 解:由条件知F(2,0).设A(x1.y1).B(x2.y2)． (Ⅰ)当AB与x轴垂直时.可设点A.B的坐标分别为.此时·＝＝-1. 当AB不与x轴垂直时.设直线AB的方程是y＝k(x-2)(k≠±1)． 代入x2-y2＝2有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)＝0. 则x1.x2是上述方程的两个实根.所以x1+x2＝.x1x2＝. 于是·＝(x1-1)(x2-1)+y1y2 ＝(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2) ＝(k2+1)x1x2-(2k2+1)(x1+x2)+4k2+1 ＝-+4k2+1 ＝(-4k2-2)+4k2+1＝-1. 综上所述.·为常数-1. (Ⅱ)解法一:设M(x.y).则＝(x-1.y).＝(x1-1.y1).＝(x2-1.y2).＝．由＝++得:.即 于是AB的中点坐标为(.)． 当AB不与x轴垂直时.＝＝.即y1-y2＝(x1-x2)． 又因为A.B两点在双曲线上.所以x-y＝2.x-y＝2.两式相减得 (x1-x2)(x1+x2)＝(y1-y2)(y1+y2).即(x1-x2)(x+2)＝(y1-y2)y. 将y1-y2＝(x1-x2)代入上式.化简得x2-y2＝4. 当AB与x轴垂直时.x1＝x2＝2.求得M(2,0).也满足上述方程． 所以点M的轨迹方程是x2-y2＝4. 解法二:同解法一得.① 当AB不与x轴垂直时.由(Ⅰ)有x1+x2＝.② y1+y2＝k(x1+x2-4)＝k(-4)＝.③ 由①.②.③得x+2＝. ④ y＝.⑤ 当k≠0时.y≠0.由④.⑤得.＝k.将其代入⑤有y＝＝.整理得x2-y2＝4. 当k＝0时.点M的坐标为.满足上述方程． 当AB与x轴垂直时.x1＝x2＝2.求得M(2,0).也满足上述方程． 故点M的轨迹方程是x2-y2＝4.

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