22.(文)(本小题满分14分)已知m∈R，对p：x₁和x₂是方程x²－ax－2＝0的两个根，不等　 式|m－5|≤|x₁－x₂|对任意实数a∈[1,2]恒成立；q：函数f(x)＝3x²+2mx+m+有两个不同的零点.求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围.

解：由题设知x₁+x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

a∈[1,2]时，的最小值为3，要使|m－5|≤|x₁－x₂|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只需|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²+2mx+m+＝0的判别式

Δ＝4m²－12(m+)＝4m²－12m－16＞0，

得m＜－1或m＞4.

，综上，要使“p且q”为真命题，只需p真q真，

即　　　　　　　　 解得实数m的取值范围是(4,8].

(理)(本小题满分14分)设命题p：函数f(x)＝lg(ax²－x+a)的定义域为R；命题q：不等式＜1+ax对一切正实数均成立，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围.

解：命题p为真命题⇔函数f(x)＝lg(ax²－x+a)的定义域为R，

即ax²－x+a＞0对任意实数x均成立，

得a＝0时，－x＞0的解集为R，不可能；

或　　　　　　　

a＜0时，ax²－x+解集显然不为R，

所以命题p为真命题⇔a＞2.

命题q为真命题⇔－1＜ax对一切正实数均成立，即a＞＝对一切正实数x均成立.

由于x＞0，所以＞1.

所以+1＞2，所以＜1.

所以，命题q为真命题⇔a≥1.

∵p或q为真命题，p且q为假命题，

∴p、q一真一假.

若p为真命题，q为假命题，无解；

若p为假命题，q为真命题，则1≤a≤2.

∴a的取值范围是[1,2].

21.(本小题满分12分)设全集是实数集R，A＝{x|2x²－7x+3≤0}，

B＝{x|x²+a<0}.

(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；

(2)若(∁_RA)∩B＝B，求实数a的取值范围.

解：(1)∵A＝{x|≤x≤3}，

当a＝－4时，B＝{x|－2<x<2}，

∴A∩B＝{x|≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}.

(2)∁_RA＝{x|x<或x>3}，

当(∁_RA)∩B＝B时，B⊆∁_RA，

①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁_RA；

②当B≠∅，即a<0时，B＝{x|－<x<}，要使B⊆∁_RA，需≤，解得－ ≤a<0.

综上可得，实数a的取值范围是a≥－.

19.(本小题满分12分)设集合A＝{x|x²－3x+2＝0}，B＝{x|x²+2(a+1)x+(a²－5)＝0}.

(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；

(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.

解：由x²－3x+2＝0得x＝1或x＝2，

故集合A＝{1,2}.

(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，

得a²+4a+3＝0⇒a＝－1或a＝－3；

当a＝－1时，B＝{x|x²－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；

当a＝－3时，B＝{x|x²－4x+4＝0}＝{2}，满足条件；

综上，a的值为－1或－3；

(2)对于集合B，

Δ＝4(a+1)²－4(a²－5)＝8(a+3).

∵A∪B＝A，∴B⊆A，

①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；

②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；

③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，

则由根与系数的关系得

矛盾；

综上，a的取值范围是a≤－3.

20.(本小题满分12分)(2010·盐城模拟)命题p：实数x满足x²－4ax+3a²＜0，其中a＜0，命题q：实数x满足x²－x－6≤0或x²+2x－8＞0，且　 p是　 q的必要不充分条件，求a的取值范围.

解：设A＝{x|x²－4ax+3a²＜0(a＜0)}＝{x|3a＜x＜a}，

B＝{x|x²－x－6≤0或x²+2x－8＜0}

＝{x|x²－x－6＜0}∪{x|x²+2x－8＞0}

＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}.

因为　 p是　 q的必要不充分条件，

所以　 q⇒ 　p，且　 p推不出　 q而

∁_RB＝{x|－4≤x＜－2}，∁_RA＝{x|x≤3a，或x≥a}

所以{x|－4≤x＜－2} {x|x≤3a或x≥a}，

或

即－≤a＜0或a≤－4.

18.(本小题满分12分)判断下列命题的真假.

(1)∀x∈R，都有x²－x+1＞.

(2)∃α，β使cos(α－β)＝cosα－cosβ.

(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N.

(4)∃x₀，y₀∈Z，使得x₀+y₀＝3.

解：(1)真命题，∵x²－x+1＝(x－)²+≥＞.

(2)真命题，如α＝，β＝，符合题意.

(3)假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4∉N.

(4)真命题，例如x₀＝0，y₀＝3符合题意.

17.(本小题满分12分)设集合A＝{－4,2a－1，a²}，B＝{9，a－5，1－a}，且A∩B＝{9}，求实数a的值.

解：因为A∩B＝{9}，所以9∈A.

若2a－1＝9，则a＝5，

此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，A∩B＝{－4,9}，与已知矛盾(舍去).

若a²＝9，则a＝±3.

当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{－2，－2,9}，与集合中元素的互异性矛盾(舍去)；

当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，符合题意.

综上所述，a＝－3.

16.(文)下列结论：

①若命题p：∃x∈R，tanx＝1；命题q：∀x∈R，x²－x+1＞0.则命题“p∧ 　q”是假命题；

②已知直线l₁：ax+3y－1＝0，l₂：x+by+1＝0，则l₁⊥l₂的充要条件是＝－3；

③命题“若x²－3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x²－3x+2≠0”.其中正确结论的序号为　　(把你认为正确结论的序号都填上).

解析：①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧　 q为假命题，故①正确；

②当b＝a＝0时，有l₁⊥l₂，故②不正确；

③正确，所以正确结论的序号为①③.

答案：①③

(理)给出下列四个命题：①∃α＞β，使得tanα＜tanβ；

②若f(x)是定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，θ∈(，)，则f(sinθ)＞f(cosθ)；

③在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的充要条件；

④若函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x+2，则f(1)+f′(1)＝3.其中所有正确命题的序号是　　.

解析：①存在α＝＞β＝，使tan＝tan＜tan，①正确；

②f(x)是定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，则在[0,1]上是减函数，θ∈(，),1＞sinθ＞cosθ＞0，

∴f(sinθ)＜f(cosθ)，②错误；

③在△ABC中，A＞，则0＜sinA≤1.

sinA＞，则＞A＞，所以“A＞”是“sinA＞”的既必要不充分条件，③错误；

④函数y＝f(x)在点M(1，f(1))处的切线斜率为f′(1)＝，M(1，f(1))是曲线上的点也是切线上的点，x＝1时，f(1)＝，∴f(1)+f′(1)＝3，④正确.

答案：①④

15.已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|1－a≤x≤2a－1}，若B⊇A，那么a的取值范围是　　　.

解析：由数轴知，

即

故a≥2.

答案：a≥2

14.已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面.

命题p：若α∥β，m?α，n?β，则m∥n；

命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

下面的命题中，①p或q；②p且q；③p或 q；④　 　p且q.

真命题的序号是　　(写出所有真命题的序号).

解析：∵命题p是假命题，命题q是真命题.

∴　 p是真命题， q是假命题，

∴p或q是真命题，p且q是假命题，

p或　 q是假命题， p且q是真命题.

答案：①④

13.令p(x)：ax²+2x+1＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是　　.

解析：对∀x∈R，p(x)是真命题，就是不等式ax²+2x+1＞0对一切x∈R恒成立.

(1)若a＝0，不等式化为2x+1＞0，不能恒成立；

(2)若 解得a＞1；

(3)若a＜0，不等式显然不能恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是a＞1.

答案：a＞1

12.(文)已知P＝{x|x²－4x+3≤0}，Q＝{x|y＝+}，则“x∈P”是“x∈Q”的　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.充分不必要条件　 　　　　　　B.必要不充分条件

C.充要条件 　　　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

解析：解集合P中的不等式x²－4x+3≤0可得1≤x≤3，集合Q中的x满足， ,解之得－1≤x≤3，所以满足集合P的x均满足集合Q，反之，则不成立.

答案：A

(理)设集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x²－4x＜0}，那么“m∈A”是“m∈B”的(　)

A.充分不必要条件　 　　　　　B.必要不充分条件

C.充要条件　 　　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

解析：∵A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜4}，

∴A?B，∴“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件.

答案：A