2、奇函数与偶函数图象的对称性：

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

1、奇函数、偶函数的定义：

奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f (–x) = – f (x)，

则这个函数叫奇函数.

偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有g (– x) =　 g (x)，

则这个函数叫做偶函数.

问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？

强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性　.

问题2：–x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？

奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.

问题3：结合函数f (x) =x³的图象回答以下问题：

(1)对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么？

点P′是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论.

(2)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？

3、多媒体屏幕上展示函数f (x) =x³和函数g (x) = x²的图象，并让学生分别求出x =±3，x =±2，

x =±，… 的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现，让学生发现两个函数的对称性反映到函数值上具有的特性：f (–x) = – f (x)，g (–x) = g (x). 然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立.

2、要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x³与g (x) = x²的图象.

1、在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义是什么？

1)两个定义：增函数、减函数；

2)两种方法：判断函数单调性的方法有：图象法、定义法.

3．例题

例1．右图是定义在闭区间[－5，5]上的函数 y＝f(x)的图象，根据图象说出y＝f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y＝f(x)是增函数还是减函数．

解：函数y＝f(x)的单调区间有[－5,－2)，

[－2，1)，[1，3)， [3，5]，

其中y＝f(x)在区间[－5,－2)，[1，3)上是减　　　 函数，在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数．　　 这种判断函数单调性的方法称为“图象法” ．

变式1：求y＝x²－4 x+5的单调区间。

变式2：y＝x²－a x+4在[2，4]上是单调函数，求a的取值范围。

例2．证明函数f(x)＝3x+2在R上是增函数．

证明：设x₁，x₂是R上的任意两个实数，且x₁＜x₂，　　　　　　　 取值

则f(x₁)－f(x₂)＝(3x₁+2)－(3x₂+2)　　　　　　　　　　 作差

＝(3x₁－3x₂)+2－2＝3(x₁－x₂)．　　　　　 变形

由x₁＜x₂，得 x₁－x₂＜0，

于是f(x₁)－f(x₂)＜0，

即　　 f(x₁)＜f(x₂) ．　　　　　　　　　　　　　　　　　 定号

所以，f(x)＝3x+2在R上是增函数．　　　　　　　　　　 判断

　这种判断函数单调性的方法称为“定义法” ．它有五个步骤，分别是：取值、作差、变形、定号、判断．

变式1：函数f(x)＝－3x+2在R上是增函数还是减函数？

变式2：函数f(x)＝kx+b(k≠0)在R上是增函数还是减函数？并证明．

例3．证明函数f(x)＝在(0, +∞)上是减函数．

变式1：f(x)＝在(－∞,0)上是增函数还是减函数？ 可得到f(x)＝在(－∞,0)上是减函数．

变式2：讨论函数f(x)＝在定义域上的单调性． 结论：函数f(x)＝在其定义域上不具有单调性．

例4．证明函数f(x)＝x+在(0，1]上是减函数．

(思备用题，在这节课讲有一定的难度，因此，远端学校的老师根据学生的情况酌情处理．)

2.函数单调性的概念：

如果函数y＝f(x)在某区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间.

　　 在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

1．增函数、减函数的概念：

一般地，设函数f(x)的定义域为I.

1)如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁＜x₂，时，都有f(x₁)＜f(x₂)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

2)如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁＜x₂，时，都有f(x₁)＞f(x₂)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.