3．情感、态度与价值观

在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.

2．过程与方法

借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念. 培养应用函数的单调性求解函数最值问题.

1．知识与技能

(1)理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.

(2)理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.

6、如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.

例2　 (1)设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，且f (x) + g (x) =，求函数f (x)，g (x)的解析式；

(2)设函数f (x)是定义在(–∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，又f (x)在(0，+∞)上是减函数，且f (x)＜0，试判断函数F (x) =在(–∞，0)上的单调性，并给出证明.

解析：(1)∵f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，　　 ∴f (–x) = f (x)，g (– x) = –g (x)，

由f (x) + g (x) =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

用–x代换x得f (–x) + g (– x) =，

∴f (x) –g (x) =，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

(① + ②)÷2 = 得f (x) =；　　 (① – ②)÷2 = 得g (x) =.

(2)F (x)在(–∞，0)是中增函数，以下进行证明：

设x₁，x₂?(–∞，0)，且x₁＜x₂.

则△x = x₂ – x₁＞0且–x₁，–x₂?(0，+∞)，　 且–x₁＞– x₂，

则△(–x) = (–x₂) – (–x₁) = x₁–x₂ = –△x＜0，

∵f (x)在(0，+∞)上是减函数，∴f (–x₂) – f (–x₁)＞0　　　　　　　　　　　　　　 ①

又∵f (x)在 (–∞，0)∪(0，+∞)上是奇函数，∴f (–x₁) = – f (x₁)，f (–x₂) = – f (x₂)，

由①式得 – f (x₂) + f (x₁) ＞0，即f (x₁) – f (x₂)＞0.

　当x₁＜x₂＜0时，F (x₂) – F (x₁) =，

又∵f (x)　在(0，+∞)上总小于0，

∴f (x₁) = – f (–x₁)＞0，f (x₂) = – f (–x₂)＞0，f (x₁)·f (x₂)＞0，

又f (x₁) – f (x₂)＞0，∴F (x₂) – F (x₁)＞0且△x = x₂ – x₁＞0，

故F (x) =在(–∞，0)上是增函数.

5、如图，给出了奇函数y = f (x)的局部图象，求f (– 4).

4、如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的偶函数，试问F (x) =f (x) + g (x)是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (偶函数)

3、如果f (0) = a≠0，函数f (x)可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？

(不能为奇函数但可以是偶函数)

2、判断下列论断是否正确：

(1) 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；(错)

(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称，(对)

(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；(错)

(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数. (对)

1、判断下列函数的是否具有奇偶性：

(1) f (x) = x + x³； (奇)　 (2) f (x) = – x²；(偶)　　 (3) h (x) = x³ +1；　 (非奇非偶)

(4) k (x) =，x[–1，2]；　 (非奇非偶)　　　　　 (5) f (x) = (x + 1) (x – 1)；(偶)　　

　(6) g (x) = x (x + 1)； (非奇非偶)　 (7) h (x) = x +； (奇 ) (8) k (x) =.(偶)

3、举例分析

例1 判断下列函数的奇偶性；

(1)f (x) = x + x³ +x⁵；　　 (奇)　　　　　 (2)f (x) = x² +1；　　　　 (偶)

(3)f (x) = x + 1；　　　　　 (非奇非偶)　　 (4)f (x) = x²，x∈[–1，3]；　 (非奇非偶)

(5)f (x) = 0. (既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数. 前提是定义域关于原点对称).

归纳：(1)根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：

第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步判断f (–x) = f (x)还是判断f (–x) = – f (x).

(2)对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：

是奇函数但不是偶函数；

是偶函数但不是奇函数；

既是奇函数又是偶函数；

既不是奇函数也不是偶函数.

学生练习：