3．组合数性质：
①
②
③
④
⑤
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例1. 某培训班有学生15名，其中正副班长各一名，先选派5名学生参加某种课外活动.
(1) 如果班长和副班长必须在内有多少种选派法.
(2) 如果班长和副班长有且只有1人在内有多少种派法.
(3) 如果班长和副班长都不在内有多少种派法.
(4) 如果班长和副班长至少有1人在内，有多少种派法.
解；(1) 
＝286 (2) 
＝1430 (3) 
＝1287
(4) 
－
＝1716
变式训练1：从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有 ( )
A．140 B．120
C．35 D．34
解：D
例2. 从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有( )
A、108种 B、186种 C.216种 D、270种
解：没有女生的选法有
, 至少有1名女生的选法有
种,
所以选派方案总共有：31×
=186种。
故选B.
变式训练2：从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班一位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有 ( )
A．210种 B．420种
C．630种 D．840种
解：B
例3. (1) 把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于其编号数，则不同的分法有多少种？
(2) 以平行六面体ABCD-A1B1C1D21的任意三个点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面情况有多少种？
(3) 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，现以不同的亮灯方式来增加舞台效果，设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？
解：(1)先在编号为1，2，3的阅览室中依次放入0，1，2本书，再用隔板法分配剩下的书有
＝15种，(2)平行六面体中能构成三角形个数
＝56为任取两个有
种情况，其中共面的有12
，因而不共面的有-12种 (3)
变式训练3：马路上有编号为1， 2， 3， 4…..10的十盏路灯，为节约用电，又不影响照明可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数有_______种.
解：20 用插排法，把七盏亮灯排成一排，七盏亮灯之间有6个间隔，再将三盏不亮的灯插入其中的3个间隔，一种插法对应一种关灯的方法，故有
种关灯方法．
例4. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，
(1) 在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？
(2) 在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法．
解：(1)四个点共面的取法可分三类．第一类：再同一个面上取，共有4
个面；第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6个面；第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的4个中点，共有
＝3个面．故有69种．
(2) 用间接法．共
＝141个面．
变式训练4：在1， 2， 3…100这100个数中任选不同的两个数，求满足下列条件时各有多少种不同的取法．
(1) 其和是3的倍数
(2) 其差是3的倍数(大数减小数).
(3) 相加，共有多少个不同的和.
(4) 相乘，使其积为7的倍数.
解：(1) 1650 (2) 1617 (3) 197 (4)1295
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个元素”，而不同点就是前者要“按一定的顺序成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”．
＝
＝
，最小的数是
，分母是
，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式
，分母是
的积．