4、一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为(　　 )

A．－24　　　　　　　　　　　 B．84　　　　　　　　　　　　　 C．72　　　　　　　　　　　　　 D．36

3、方程的解　　　　　　　　　　(　 )

A.(0，1)　　　 B.(1，2)　　　 C.(2，3)　　　 D.(3，+∞)

1、已知α、β都是第二象限角，且cosα>cosβ，则(　)

A．α<β　　　　　　　　　　 B．sinα>sinβ　　　

C．tanα>tanβ　　　　　　 D．cotα<cotβ

2　 已知在[0，1]上是的减函数，则a的取值范围是(　 )

A．(0，1) 　B．(1，2)　　C．(0，2)　　　　 D．[2，+∞)

9.已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数

　解：设三个数为a，公差为d，则这5个数依次为a-2d，a-d ,a ,a+d ,a+2d依题意：

(a-2d)² +(a-d)² + a² + (a+d)² + (a+2d)² =

且(a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 5

即 a²+2d² = 且 a=1　　　　　　　　　　

∴a=1且d=

当d=时，这5个数分别是－、、1、、；

当d=－时，这5个数分别是、、1、、－

(2006江苏)设数列、、满足：，(n=1,2,3,…)，证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且(n=1,2,3,…)

证明：必要性．设{a _n}是公差为 d₁的等差数列，则

b _n+1b _n = (a _n+1a _n+3)(a _na _n+2)=(a _n+1a _n)(a _n+3a _n+2)=d₁d₁=0

所以b _n≤b _n+1 (n=1,2,3,…)成立.

又c _n+1-c _n=(a _n+1-a _n)+2(a _n+2-a _n+1)+3(a _n+3-a _n+2)

　　　　 =d₁+2d₁+3d₁=6d₁(常数)(n=1,2,3,…)，

所以数列{c _n}为等差数列.

充分性。设数列{c _n}是公差为d₂的等差数列，且b _n≤b _n+1 (n=1,2,3,…).

证法一：

∵c _n= a _n +2a _n+1+3a _n+2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

∴c _n+2= a _n+2+2a _n+3+3a _n+4 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　②

①-②得c _n - c _n+2=( a _n - a _n+2)+2(a _n+1 - a _n+3)+3(a _n+2 - a _n+4)

　　　　　　　　 = b _n + 2b _n+1 + 3b _n+2.

∵c _n- c _n+2=( c _n- c _n+1)+( c _n+1 - c _n+2)=-2d₂.

∴b_n + 2b_n+1 + 3b_n+2 =-2d₂.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

从而有

b_n+1 + 2b_n+2 + 3b_n+3 =-2d₂.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

④-③得

(b _n+1 - b _n)+2(b _n+2 - b _n+1)+3(b _n+3 - b _n+2)=0.　　　　　　　　　　 ⑤

∵b _n+1 - b _n≥0，b _n+2 - b _n+1≥0, b _n+3 - b _n+2≥0，

∴由⑤得b _n+1 - b _n=0(n=1,2,3,…).

由此不妨设b _n =d₃(n=1,2,3,…)，则a _n - a _n+2 =d₃(常数).

由此c _n = a _n + 2a _n+1 + 3a _n+2 = 4a _n + 2a _n+1 – 3d₃,

从而c _n+1 = 4a _n+1 + 2a _n+2 - 3d₃ = 4a _n+1 + 2a _n -5d₃.

两式相减得c _n+1 - c _n =2(a _n+1 - a _n)-2d₃,

因此a _n+1 - a _n =(c _n+1-c_n)+d₃=d₂+d₃(常数)(n=1,2,3,…),

所以数列{a _n}是等差数列.

证法二：

令A_n = a _n+1- a _n，由b _n≤b _n+1知a _n - a _n+2≤a _n+1- a _n+3,

从而a _n+1- a _n≥a _n+3 - a _n+2,即A_n≥A_n+2(n=1,2,3,…).

由c _n = a _n + 2a _n+1 + 3a _n+2, c _n+1 = a _n+1 + 2a _n+2 + 3a _n+3得

c _n+1-c _n=( a _n+1- a _n)₊₂(a _n+2- a _n+1)+3(a _n+3 - a _n+2)，即

A_n+2A_n+1+3A_n+2=d₂.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

由此得

A_n+2+2A_n+3+3A_n+4=d₂.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

⑥-⑦得

(A_n-A_n+2)+2(A_n+1- A_n+3)+3(A_n+2- A_n+4)=0.　　　　　　　　　　　　　 ⑧

因为A_n-A_n+2≥0，A_n+1- A_n+3≥0，A_n+2- A_n+4≥0,

所以由⑧得A_n-A_n+2=0(n=1,2,3,…).

于是由⑥得

4A_n+2A_n+1=A_n+2A_n+1+3A_n+2=d₂,　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　⑨

从而

2A_n+4A_n+1=4A_n+1+2A_n+2=d₂. ⑩

由⑨和⑩得4A_n+2A_n+1=2A_n+4A_n+1,故A_n+1= A_n ,即

a _n+2- a _n+1= a _n+1- a _n(n=1,2,3,…)，

所以数列{a _n}是等差数列.

8.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n已知a₃=12, S₁₂＞0,S₁₃＜0 (Ⅰ)求公差d的取值范围； (Ⅱ)指出S₁,S₂,…,S₁₂,中哪一个值最大,并说明理由 解： (Ⅰ)依题意,有 ，即 由a₃=12,得　 a₁=12－2d　 (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得　 ，∴ (Ⅱ)由d＜0可知 a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₂＞a₁₃ 因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得a_n＞0,a_n+1＜0, 则S_n就是S₁,S₂,…,S₁₂中的最大值 由于　 S₁₂=6(a₆+a₇)＞0,　 S₁₃=13a₇＜0，即 a₆+a₇＞0, a₇＜0 由此得　 a₆＞－a₇＞0因为a₆＞0, a₇＜0,故在S₁,S₂,…,S₁₂中S₆的值最大

7.(2003年春季上海，12)设f(x)=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)+f(－4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为________.

解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f(x)+f(1－x)=，即f(－5)+ f(6)=，f(－4)+f(5)=，f(－3)+f(4)=，f(－2)+f(3)=，f(－1)+ f(2)=，f(0)+f(1)=，故所求的值为3.

答案：3

3.(2004年春季上海，7)在数列{a_n}中，a₁=3，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－=0上，则a_n=___________________.

解析：将点代入直线方程得－=，由定义知{}是以为首项，以为公差的等差数列，故=n，即a_n=3n².

答案：3n²

6.在等差数列{a_n}中，公差为，且a₁+a₃+a₅+…+a₉₉=60，则a₂+a₄+a₆+…+a₁₀₀=_________.

解析：由等差数列的定义知a₂+a₄+a₆+…+a₁₀₀=a₁+a₃+a₅+…+a₉₉+50d=60+25=85.

答案：85

10．数列的首项,通项与前n项和之间满足

(1)求证:是等差数列,并求公差;

(2)求数列的通项公式;

(3)数列中是否存在正整数k,使得不等式对任意不小于k的正整数都成立?若存在,求出最小的k,若不存在,请说明理由.

解:(1)当

(2)

(3)

所求最小k=3.

[探索题]已知数列{a_n}的各项均为正整数，且满足a_n+1=a_n²－2na_n+2(n∈N^*)，又a₅=11.

(1)求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并由此推测出{a_n}的通项公式(不要求证明)；

(2)设b_n=11－a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，S_n′=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求的值.

解：(1)由a₅=11，得11=a₄²－8a₄+2，即a₄²－8a₄－9=0.解得a₄=9或a₄=－1(舍).

由a₄=9，得a₃²－6a₃－7=0.

解得a₃=7或a₃=－1(舍).

同理可求出a₂=5，a₁=3.

由此推测a_n的一个通项公式a_n=2n+1(n∈N^*).

(2)b_n=11－a_n=10－2n(n∈N^*)，可知数列{b_n}是等差数列.

S_n===－n²+9n.

当n≤5时，S_n′=S_n=－n²+9n；

当n＞5时，S_n′=－S_n+2S₅=－S_n+40=n²－9n+40.

当n≤5时，=1；

备选题

9.已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-2n，b_n=，

证明:数列{b_n}是等差数列.

证明:S_n=n²－2n，a₁=S₁=－1.

当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=n²－2n－(n－1)²+2(n－1)=2n－3，a₁满足上式即a_n=2n－3.

∵a_n+1－a_n=2(n+1)－3－2n+3=2，

∴数列{a_n}是首项为－1，公差为2的等差数列.

∴a₂+a₄+…+a_2n=

==n(2n－1)，

即b_n==2n－1.

∴b_n+1－b_n=2(n+1)－1－2n+1=2.

又b₂==1，

∴{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列.