，即10．空集
是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的
，是任何非空集合的
，解题时不可忽视．
|
例1. 已知集合
，试求集合
的所有子集.
解：由题意可知
是
的正约数，所以 可以是
；相应的
为
，即
.
∴的所有子集为
.
变式训练1.若a,b
R,集合
求b-a的值.
解：由
可知a≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：
①或 
②
由①得
符合题意；②无解.所以b-a=2.
例2. 设集合
，
，
，求实数a的值.
解：此时只可能
，易得
或
。
当时，
符合题意。
当
时，
不符合题意，舍去。
故。
变式训练2：(1)P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax+2＝0}，S
P，求a取值？
(2)A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m－1}，BA,求m。
解：(1)a＝0,S＝，P成立 a
0，S，由SP，P＝{3，－1}
得3a+2＝0，a＝－
或－a+2＝0，a＝2； ∴a值为0或－或2.
(2)B＝，即m+1>2m－1,m<2 ∴
A成立.
B≠，由题意得
得2≤m≤3
∴m<2或2≤m≤3 即m≤3为取值范围.
注：(1)特殊集合作用，常易漏掉
例3. 已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.
(1)若A是空集，求m的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求m的值；
(3)若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.
解： 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.
(1)∵A是空集，∴方程mx2-2x+3=0无解.
∴Δ=4-12m<0,即m>
.
(2)∵A中只有一个元素，
∴方程mx2-2x+3=0只有一个解.
若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=
;
若m≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m=.
∴m=0或m=.
(3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据(1)、(2)的结果，
得m=0或m≥.
变式训练3.(1)已知A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值；
(2)已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.
解：(1)由题意知：
a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1，
∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2, ∴a=0即为所求.
(2)由题意知,
或
或
或
根据元素的互异性得
或
即为所求.
例4. 若集合A＝{2，4，
}，B＝{1，a+1，
，
、
}，且A∩B＝{2，5}，试求实数
的值．
解:∵А∩В＝{2，5}，∴2∈A且5∈A，
则＝5
(a－2)(a－1)(a+1)＝0，
∴a＝－1或a＝1或a＝2．
当a＝－1时，B＝{1，0，5，2，4}，与A∩B＝{2，5}矛盾，∴a≠－1．
当a＝1时，B＝{1，2，1，5，12}，与集合中元素互异性矛盾，∴a≠1．
当a＝2时，B＝{1，3，2，5，25}，满足A∩B＝{2，5}．故所求a的值为2．
变式训练4.已知集合A＝{a，a+d，a+2d}，B＝{a，aq，
}，其中a≠0，若A＝B，求q的值
解：∵A＝B
∴(Ⅰ)
或 (Ⅱ) 
由(Ⅰ)得q＝1，由(Ⅱ)得q＝1或q＝－
．
当q＝1时，B中的元素与集合元素的互异性矛盾，
∴q＝－
|
|