3．反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．
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例1. 下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是 ( )
A．p:0＝
；q:0∈
B．p：在
ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B； 
y＝sinx在第一象限是增函数
C．
；不等式
的解集为
D．p：圆
的面积被直线
平分；q：椭圆
的一条准线方程是x＝4
解：由已知条件，知命题p假且命题q真.选项(A)中命题p、q均假，排除；选项(B)中，
命题p真而命题q假，排除；选项(D)中，命题p和命题q都为真，排除；故选(C)．
变式训练1：如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题.那么( )
A．命题p和命题q都是假命题
B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p和命题“非q”真值不同
D．命题q和命题p的真值不同
解： D
例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:
(1) 若q<1，则方程x2+2x+q＝0有实根；
(2) 若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3) 若x2+y2＝0，则x、y全为零.
解：(1)逆命题：若方程x2+2x+q＝0有实根，则q＜1，为假命题．否命题：若q≥1，则方程x2+2x+q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x2+2x+q＝0无实根，则q≥1，为真命题．
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．
(3)逆命题：若x、y全为零，则x2+y2＝0，为真命题．
否命题：若x2+y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．
逆否命题：若x、y不全为零，则x2+y2≠0，为真命题．
变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：
(1)如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；
(2)矩形的对角线互相平分且相等；
(3)相似三角形一定是全等三角形.
解：(1)否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.
原命题为真命题，否命题也为真命题.
(2)否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”
原命题是真命题，否命题是假命题.
(3)否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.
原命题是假命题，否命题是真命题.
例3. 已知p：
有两个不等的负根，q：
无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．
解：p：
有两个不等的负根．
q：
无实根．
因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反．
(ⅰ) 当p真且q假时，有
；
(ⅱ) 当p假且q真时，有
．
综合，得
的取值范围是{
或
}．
变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围.
解 ： 由函数y=ax在R上单调递减知0<a<1，所以命题p为真命题时a的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|,
则y=
不等式x+|x-2a|>1的解集为R，只要ymin>1即可，而函数y在R上的最小值为2a，所以2a>1，即a>
即q真
a>若p真q假,则0<a≤
若p假q真，则a≥1,所以命题p和q有且只有一个命题正确时a的取值范围是0<a≤
或a≥1.
例4. 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y+
，b＝y2－2z+
，c＝z2－2x+
．求证：a、b、c中至少有一个大于0．
证明：假设
都不大于0，即
，则
而
＝
，
．
相矛盾．因此中至少有一个大于0．
变式训练4：已知下列三个方程：①x2+4ax－4a+3＝0，②x2+(a－1)x+a2＝0，③x2+2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.
解：设已知的三个方程都没有实根．
则
解得
．
|
．
5．设平面α的一个法向量为
，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝
.
第2课时 空间向量的坐标运算
|
设a＝
，b＝
(1) a±b＝
(2) 
a＝ ．
(3) a·b＝ ．
(4) a∥b
；a
b
．
(5) 设
则
＝
，
．
AB的中点M的坐标为 ．
|
例1. 若
＝(1,5,－1)，
＝(－2,3,5)
(1)若(k+
)∥(－3)，求实数k的值；
(2)若(k+)⊥(－3)，求实数k的值；
(3)若
取得最小值，求实数k的值．
解：(1)
；
(2)
； (3)
变式训练1. 已知
为原点，向量
∥
，求
．
解：设
，
∵
∥，∴
，
，
∴
，即
解此方程组，得
。
∴
，
。
例2. 如图，直三棱柱
，底面
中，CA＝CB＝1，
，棱
，M、N分别A1B1、A1A是的中点．
(1) 求BM的长；
(2) 求
的值；
(3) 求证：
．
解：以C为原点建立空间直角坐标系
.
(1) 依题意得B(0，1，0)，M(1，0，1)．
.
(2) 依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).
.
(3) 证明：依题意得C1(0，0，2)，N
.
变式训练2. 在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝
，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1) 在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离；
(2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离．
解：(1) 建立空间直角坐标系A－BDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(
, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, 
, 1)，依题设N(x, 0, z)，则
＝(－x, , 1－z)，由于NE⊥平面PAC，
∴
即
，即点N的坐标为(
, 0, 1)，
从而N到AB、AP的距离分别为1，.
(2) 设N到平面PAC的距离为d，则d＝
＝
.
例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥
中，
，点E在
上，且
:
＝2:1．
(1) 证明 
平面
；
(2) 求以AC为棱，
与
为面的二面角
的大小；
(3) 在棱PC上是否存在一点F，使
∥平面
？证明你的结论．
解：(1)证明略；
(2)易解得
；
(3)解 以A为坐标原点，直线
分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系(如图)．由题设条件，相关各点的坐标为
所以
，
，
，设点F是棱
上的点，
，其中
，则
．令
得
解得
，即
时，
．亦即，F是PC的中点时，
共面，又
平面，所以当F是PC的中点时，∥平面．
例4. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4.
(1) 求
和点G的坐标；
(2) 求GE与平面ABCD所成的角；
(3) 求点C到截面AEFG的距离．
解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，
E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴
又∵
，设G(0，0，z)，则(－1，0，z)
＝(－1，0，1) ∴z＝1 ∴G(0，0，1)
(2)平面ABCD的法向量
，设GE与平面ABCD成角为，则
∴
(3)设
⊥面AEFG，＝(x0，y0，z0)
∵⊥
，⊥
，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3)
∴
取z0＝4，则＝(4，－3，4)
∵
即点C到截面AEFG的距离为
．
变式训练4. 如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，
，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
(2)求点D到平面PBG的距离；
(3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求
的值．
解：(1)以G点为原点，
为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，
P(0，0，4)，故E(1，1，0)，
＝(1，1，0)， 
＝(0，2，4)。
，
∴GE与PC所成的余弦值为
．
(2)平面PBG的单位法向量n＝(0，±1，0) .
∵
，
∴点D到平面PBG的距离为
n |＝
.
(3)设F(0，y，z)，则
。
∵
，∴
，
即
，
∴
, 又
，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)， ∴z=1，
|
，1) ，
，∴
。
对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题．
运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程．
为与
.
．