5．(2009·安徽高考)已知{a_n}为等差数列，a₁+a₃+a₅＝105，a₂+a₄+a₆＝99.以S_n表示{a_n}的前n项和，则使得S_n达到最大值的n是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．21　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．20

C．19　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．18

解析：∵{a_n}为等差数列，

∴a₁+a₃+a₅＝105⇒a₃＝35，

a₂+a₄+a₆＝99⇒a₄＝33，

d＝a₄－a₃＝33－35＝－2，

∴{a_n}是递减数列．

a_n＝a₃+(n－3)d＝35+(n－3)×(－2)＝－2n+41，

a_n≥0，－2n+41≥0，n≤，

∴当n≤20时，a_n>0，

∴n＝20时，S_n最大，故选B.

答案：B

4．(2009·唐山二模)等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₇>S₈>S₆，则下列结论：

①a₇＝0　 ②a₈<0

③S₁₃>0　 ④S₁₄<0

其中正确结论是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．②③　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．①③

C．①④　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．②④

解析：∵S₇>S₈>S₆，∴a₇>0，a₇+a₈>0

∴S₁₄＝＝7(a₇+a₈)>0，∴①④错误，故选A.

答案：A

3．设{a_n}是等差数列，若a₂＝3，a₇＝13，则数列{a_n}前8项的和为　　　　　　　　 (　)

A．128　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．80

C．64　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．56

解析：∵{a_n}是等差数列，

∴a₂+a₇＝a₃+a₆＝a₄+a₅＝a₁+a₈.

∴S₈＝a₁+a₂+a₃+…+a₈＝4(a₂+a₇)＝4×16＝64.

答案：C

2．若等差数列{a_n}的前5项和S₅＝25，且a₂＝3，则a₇等于　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．12　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．13

C．14　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．15

解析：25＝S₅＝×5，∴a₄＝7.

∴2d＝a₄－a₂＝4.∴a₇＝a₄+3d＝13. 　

答案：B

1．(2009·福建高考)等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃＝6，a₃＝4，则公差d等于(　)

A．1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．3

解析：∵S₃＝＝6，而a₃＝4，

∴a₁＝0，∴d＝＝2.

答案：C

13．(20分)(2009·江西高考)各项均为正数的数列{a_n}，a₁＝a，a₂＝b，且对满足m+n＝p+q的正整数m，n，p，q都有＝.

(1)当a＝，b＝时，求通项a_n；

(2)证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有≤a_n≤λ.

解：(1)由＝

得＝，

将a₁＝，a₂＝代入上式化简得a_n＝，

所以＝·.

故数列{}为等比数列，

从而＝，即a_n＝.

可验证，a_n＝满足题设条件．

(2)由题设的值仅与m+n有关，记为b_m+n，则b_n+1＝＝

考察函数f(x)＝(x>0)，

则在定义域上有f(x)≥g(a)＝

故对n∈N^*，b_n+1≥g(a)恒成立．

又b_2n＝≥g(a)，注意到0<g(a)≤，

解上式得：＝≤a_n≤，

取λ＝，即有≤a_n≤λ.

12．(15分)(2010·福建泉州一模)某城市决定对城区住房进行改造，在新建住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房a m²，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少a m²；已知旧住房总面积为32a m²，每年拆除的数量相同．

(1)若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m^2?

(2)求前n(1≤n≤10且n∈N)年新建住房总面积S_n.

解：(1)10年后新建住房总面积为a+2a+4a+8a+7a+6a+5a+4a+3a+2a＝42a.

设每年拆除的旧住房为x m²，

则42a+(32a－10x)＝2×32a，

解得x＝a，即每年拆除的旧住房面积是a m².

(2)设第n年新建住房面积为a，

则a_n＝

所以当1≤n≤4时，S_n＝(2ⁿ－1)a；

当5≤n≤10时，S_n＝a+2a+4a+8a+7a+6a+…+(12－n)a＝15a+＝，

故S_n＝

11．(15分)已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃＝5，S₁₅＝225；数列{b_n}是等比数列，b₃＝a₂+a₃，b₂b₅＝128.

(1)求数列{a_n}的通项a_n及数列{b_n}的前8项和T₈；

(2)求使得>成立的正整数n.

解：(1)设等差数列{a_n}的公差为d，

由已知a₁+2d＝5,15a₁+×15×14d＝225，

即解得d＝2，a₁＝1，

所以a_n＝2n－1.

设等比数列{b_n}的公比为q，

因为b₃＝a₂+a₃，所以b₁q²＝8，

因为b₂b₅＝128，所以bq⁵＝128，

解得q＝2，b₁＝2，

T₈＝＝510.

(2)>即>，

解之得4<n<6，所以n＝5.

10．设函数f(x)定义如下表，数列{x_n}满足x₀＝5，且对任意自然数均有x_n+1＝f(x_n)，则x₂₀₀₆的值为__________.

解析：∵x₀＝5，x_n+1＝f(x_n)，

∴x₁＝f(x₀)＝f(5)＝2，x₂＝f(x₁)＝f(2)＝1，

x₃＝f(x₂)＝f(1)＝4，x₄＝f(x₃)＝f(4)＝5.

从而知数列{x_n}是以4为周期的数列，而x₂₀₀₆＝f(x₂₀₀₅)＝f(x₁)＝f(2)＝1.

答案：1

9．已知数列{a_n}满足＝(n∈N^*)，且a₁＝1，则a_n＝__________.

解析：本题考查利用递推公式确定数列通项公式．据已知有：n≥2时利用累乘法得：a_n＝a₁···…·＝1····…··＝，又验证知a₁＝1也适合，故a_n＝.

答案：