11．(文)在数列{a_n}中，a₁＝1,3a_na_n－1+a_n－a_n－1＝0(n≥2，n∈N)．

(1)试判断数列{}是否为等差数列；

(2)设{b_n}满足b_n＝，求数列{b_n}的前n项为S_n；

(3)若λa_n+≥λ，对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

解：(1)∵a₁≠0，∴a_n≠0，∴由已知可得－＝3(n≥2)，

故数列{}是等差数列．

(2)由(1)的结论可得b_n＝1+(n－1)×3，所以b_n＝3n－2，

∴S_n＝＝.

(3)将a_n＝＝代入λa_n+≥λ并整理得λ(1－)≤3n+1，

∴λ≤，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立．

设C_n＝，则C_n+1－C_n＝>0，故C_n+1>C_n，

∴C_n的最小值为C₂＝，

∴λ的取值范围是(－∞，]．

(理)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，)在直线y＝x+上．数列{b_n}满足b_n+2－2b_n+1+b_n＝0(n∈N^*)，b₃＝11，且其前9项和为153.

(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)设c_n＝，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

解：(1)由已知得＝n+，

∴S_n＝n²+n.

当n≥2时，

a_n＝S_n－S_n－1

＝n²+n－(n－1)²－(n－1)＝n+5；

当n＝1时，a₁＝S₁＝6也符合上式．

∴a_n＝n+5.

由b_n+2－2b_n+1+b_n＝0(n∈N^*)知{b_n}是等差数列，

由{b_n}的前9项和为153，可得＝9b₅＝153，

得b₅＝17，又b₃＝11，

∴{b_n}的公差d＝＝3，b₃＝b₁+2d，

∴b₁＝5，

∴b_n＝3n+2.

(2)c_n＝＝(－)，

∴T_n＝(1－+－+…+－)

＝(1－)．

∵n增大，T_n增大，

∴{T_n}是递增数列．

∴T_n≥T₁＝.

T_n＞对一切n∈N^*都成立，只要T₁＝＞，

∴k＜19，则k_max＝18.

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*都有S_n＝a_n－，若1<S_k<9(k∈N^*)，则k的值为________．

解析：∵S_n＝a_n－，∴S₁＝a₁－＝a₁，a₁＝－1.a_n＝S_n－S_n－1(n>1)，即a_n＝(a_n－)－(a_n－1－)＝a_n－a_n－1，整理得：＝－2，∴{a_n}是首项为－1，公比为－2的等比数列，S_k＝＝，∵1<S_k<9，∴1<<9，即4<(－2)^k<28，仅当k＝4时不等式成立．

答案：4

9．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，

每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么

x+y+z的值为　　　　　　　　　　　 (　)

A．1　　　　　　　 　B．2

C．3　　　　　　　　 　D．4

解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为的等比数列，故有x＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，，故其公比为，所以y＝5×()³＝，同理z＝6×()⁴＝，故x+y+z＝2.

答案：B

8．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出__________万元资金进行奖励．

解析：设第10名到第1名得的奖金数分别是a₁，a₂，…，a₁₀，则a_n＝S_n+1，则a₁＝2，a_n－a_n－1＝a_n，即a_n＝2a_n－1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S₁₀＝＝2046.

答案：2046

7.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　)

A．6秒钟 　　　　B．7秒钟　　　　 C．8秒钟 　　　D．9秒钟

解析：设至少需要n秒钟，则1+2¹+2²+…+2^n－1≥100，

∴≥100，∴n≥7.

答案：B

6．数列{a_n}中，a₁＝6，且a_n－a_n－1＝+n+1(n∈N^*，n≥2)，则这个数列的通项a_n＝________.

解析：由已知等式得na_n＝(n+1)a_n－1+n(n+1)(n∈N^*，n≥2)，则－＝1，所以数列{}是以＝3为首项，1为公差的等差数列，即＝n+2，则a_n＝(n+1)(n+2)．n＝1时，此式也成立．

答案：(n+1)(n+2)

5．(2010·邯郸模拟)若数列{a_n}满足－＝d(n∈N^*，d为常数)，则称数列{a_n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x₁+x₂+…+x₂₀＝200，则x₅+x₁₆＝________.

解析：由题意，若{a_n}为调和数列，则{}为等差数列，所以{}为调和数列，则可得数列{x_n}为等差数列，由等差数列的性质可知，x₅+x₁₆＝x₁+x₂₀＝x₂+x₁₉＝…＝＝20.

答案：20

4.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(n∈N₊)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了　　　　　　　　 (　)

A．600天　 　　　　B．800天　　　　 C．1 000天　　　　 　D．1 200天

解析：由第n天的维修保养费为元(n∈N₊)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值．

设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为

＝++4.95，当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800.

答案：B

3．(文)已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n且满足a₂＝3，S₆＝36.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若数列{b_n}是等比数列且满足b₁+b₂＝3，b₄+b₅＝24.设数列{a_n·b_n}的前n项和为T_n，求T_n.

解：(1)∵数列{a_n}是等差数列，

∴S₆＝3(a₁+a₆)＝3(a₂+a₅)＝36.

∵a₂＝3，∴a₅＝9，∴3d＝a₅－a₂＝6，∴d＝2，

又∵a₁＝a₂－d＝1，∴a_n＝2n－1.

(2)由等比数列{b_n}满足b₁+b₂＝3，b₄+b₅＝24，

得＝q³＝8，∴q＝2，

∵b₁+b₂＝3，∴b₁+b₁q＝3，∴b₁＝1，b_n＝2^n－1，

∴a_n·b_n＝(2n－1)·2^n－1.

∴T_n＝1×1+3×2+5×2²+…+(2n－3)·2^n－2+(2n－1)·2^n－1，

则2T_n＝1×2+3×2²+5×2³+…+(2n－3)·2^n－1+(2n－1)·2ⁿ，

两式相减得(1－2)T_n＝1×1+2×2+2×2²+…+2·2^n－2+2·2^n－1－(2n－1)·2ⁿ，即

－T_n＝1+2(2¹+2²+…+2^n－1)－(2n－1)·2ⁿ

＝1+2(2ⁿ－2)－(2n－1)·2ⁿ＝(3－2n)·2ⁿ－3，

∴T_n＝(2n－3)·2ⁿ+3.

(理)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝1，数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列．

(1)求a₂，a₃；

(2)证明：数列{a_n－2}为等比数列；

(3)求数列{na_n}的前n项和T_n.

解：(1)∵数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列，

∴(a_n+1+S_n+1)－(a_n+S_n)＝2，即a_n+1＝.

∵a₁＝1，∴a₂＝，a₃＝.

(2)证明：由题意得a₁－2＝－1，

又∵＝＝，

∴{a_n－2}是首项为－1，公比为的等比数列．

(3)由(2)得a_n－2＝－()^n－1，∴na_n＝2n－n·()^n－1，

∴T_n＝(2－1)+(4－2·)+[6－3·()²]+…+[2n－n·()^n－1]，

＝(2+4+6+…+2n)－[1+2·+3·()²+…+n·()^n－1]，

设A_n＝1+2·+3·()²+…+n·()^n－1，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

∴A_n＝+2·()²+3·()³+…+n·()ⁿ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

①－②得A_n＝1++()²+…+()^n－1－n·()ⁿ，

∴A_n＝－n·()ⁿ，

∴A_n＝4－(n+2)·()^n－1，

∴T_n＝+(n+2)·()^n－1－4＝(n+2)·()^n－1+n(n+1)－4.

2．数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₆＝b₇，则有　　　 (　)

A．a₃+a₉≤b₄+b₁₀

B．a₃+a₉≥b₄+b₁₀

C．a₃+a₉≠b₄+b₁₀

D．a₃+a₉与b₄+b₁₀的大小不确定

解析：∵a₃+a₉≥2＝2＝2a₆＝2b₇＝b₄+b₁₀，当且仅当a₃＝a₉时，不等式取等号．

答案：B