4．25 ℃时.水的电离达到平衡:H2O H++OH-,DH＞0.下列叙述正确的是 A．向水中加入稀氨水.平衡逆向移动.c(OH-)降低 B．向水中加入少量固体硫酸氢钠.c(H+)增大.KW不变——青夏教育精英家教网—

4．25 ℃时，水的电离达到平衡：H₂O 　H⁺+OH^－；DH＞0，下列叙述正确的是

A．向水中加入稀氨水，平衡逆向移动，c(OH^－)降低

B．向水中加入少量固体硫酸氢钠，c(H⁺)增大，K_W不变

C．向水中加入少量固体CH₃COONa，平衡逆向移动，c(H⁺)降低

D．将水加热，K_W增大，pH不变

3．经测定，液态BrF₃在20ºC时导电性很强，说明该化合物在液态时发生了电离，存在阴阳离子。其他众多实验证实，存在一系列有明显离子化合物倾向的盐类，如KBrF₄,(BrF₂)₂SnF₆,ClF₃·BrF₃等，由此推断液态BrF₃电离时的阴阳离子是

A．和　　　　B．和　　　　 C．和　　　 D．和

2．水的电离过程为H₂OH⁺+OH^－，在不同温度下水的离子积常数为：K(25℃)＝1.0×10^－¹⁴，K(35℃)＝2.1×

10^－¹⁴。对水的下列叙述正确的是

A．c(H⁺)随着温度的升高而降低　　　　　　　　　　　 B．在35℃时，c(H⁺)＞c(OH^－)

C．水的电离程度(25℃)＞(35℃)　　　　　　　　　　　 D．水的电离是吸热的

1．以下实验事实能证明某无色透明液体为纯净水的是

A．测得该液体pH=7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B. 电解该液体得H₂和O₂体积比为2:1

C．在10lKPa下测沸点为100℃　　　　　　　　　　　　 D. 测得密度为1g·cm^–3

(四)注重的数学思想方法复习，强化训练，做到灵活运用。

　　考纲中规定除考查学生“数学知识和思维能力”外，还要考查学生“数学思想方法”的运用能力。数学思想方法与数学知识相比较，它有较高的地位和层次。数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段，数学思想是数学的灵魂。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。在圆锥曲线中涉及到数学思想方法:数形结合的思想、函数与方程思想、分类讨论的思想、化归思想等都有所体现，同时定义法、待定系数法、参数法、设而不求等方法经常用到，因此，在复习中要有意识地培养学生运用数学思想方法解题的能力。

例17.(2009福建文22)．(本小题满分14分)

已知直线经过椭圆

的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭

圆上位于轴上方的动点，直线，与直线

分别交于两点。

　 (I)求椭圆的方程；

　 (Ⅱ)求线段MN的长度的最小值；

　 (Ⅲ)当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这

样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由

解：(I)由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为

　　　故椭圆的方程为

(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而，由得0

设则得，从而

即又由得

故

又　当且仅当，即时等号成立

时，线段的长度取最小值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，当取最小值时，，

此时的方程为

　　要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。

设直线则由解得或。

①当时，由，得，

，所以直线与椭圆C有两个不同的交点；

②当时，由，得，

由于，故直线与椭圆C没有交点。

综上所述，当线段MN的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使得的面积为。

(三)要熟悉解决圆锥曲线问题的必要的技能技巧，以提高综合解题能力

　　在求解圆锥曲线问题中，学生运算能力的高低是求解圆锥曲线问题的关键，因此，减少圆锥曲线问题运算量是非常必要的。

1.求方程时选用适当的形式；

例①焦点位置不确定的椭圆标准方程常设为)，

②共渐近线的双曲线方程可设为等。

2.在直线与圆锥曲线的位置关系中，应用韦达定理整体代入简化运算；

3.数形结合简化运算；在解析几何中所涉及的曲线具有“数”与“形”的双重性，数形结合时解析几何的基本思想方法，借助直观图形能使直线与圆锥曲线的位置关系问题直观显现，获得迅速解答。

4.灵活运用圆锥曲线的定义(回归定义)；

5.设而不求，点差法简化运算(例弦的中点问题)。用解析法处理解析几何问题，设点的坐标最为常见，但求点的坐标并不多见。根据点在曲线上，坐标是方程解得代数特征，灵活运用方程理论，是设而不求的实质。如果涉及到曲线交点问题，可不求出点的坐标(例13)。

6.利用向量。向量与平面解析几何都具有数与形相结合的特征，都可进行坐标运算，向量可以使许多问题的解决得到简化。

(二)要熟练掌握解决有关圆锥曲线问题的通性通法，打好坚实的基础。

解析几何所研究的问题有两类：一是根据条件求圆锥曲线的方程；二是根据方程讨论曲线的几何性质。因此，在复习时要重点掌握好圆锥曲线中的一些基本问题。

1.求圆锥曲线的标准方程：这是圆锥曲线中的基本问题，也是高考的热点问题，求圆锥曲线的标准方程常常使用定义法与待定系数法，可采用“先定形(焦点位置或对称轴的位置)、后定式(方程的形式)、再定量(方程中待定的系数或)。求解时，要根据圆锥曲线的几何性质进行分析，理清其关系，挖掘其联系。

注意：求曲线的标准方程易忽视焦点的位置。

2.求曲线的轨迹方程：文科虽不做要求，但课本中有这样问题，也是高考的热点，难度有所降低，因此必须认真对待。轨迹问题具有两个方面：一是求轨迹方程；二是由轨迹方程研究轨迹的性质。这两方面的问题在历年高考中均有出现，在复习时要掌握求轨迹方程的思路和方法，要学会如何将解析几何的位置关系转化为代数的数量关系进而转化为坐标关系。求轨迹方程常用的方法有定义法、直接法、代入法、参数法等。

注意：①轨迹与轨迹方程的区别；②轨迹方程的纯粹性与完备性。

例8. (2009海南(宁夏)理。20)(本小题满分12分)

　已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。　　　

解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得

，　　

所以椭圆的标准方程为　　　

(Ⅱ)设，其中。由已知及点在椭圆上可得

。

整理得，其中。

(i)时。化简得　　

所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。

(ii)时，方程变形为，其中

当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆。

(人教A版选修2-1第二章复习题A组第4题：当从到变化时，方程

表示的曲线的形状怎么变化？)

例9.(2009广东理。19)．(本小题满分14分)

已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．

(1)若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；　　　　　

(2)若曲线与有公共点，试求的最小值．

解：(1)联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为().

(2)曲线，

即圆：，其圆心坐标为，半径

由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.

3.求解圆锥曲线的性质：求解圆锥曲线的几何性质一定要先把方程化为标准形式，明确的值，要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形。当涉及到顶点、焦点、离心率、渐近线、准线等基本量时，要理清它们之间的关系，建立基本量之间的联系。特别是离心率的计算是高考必考的内容，若求离心率的值(或范围)，一般是根据题目给出的椭圆、双曲线的几何特征，建立关于的方程或不等式来求得离心率的值或范围(求范围时，要挖掘题中的不等关系，例曲线上点的坐标的范围、等)。

注意：在椭圆中；在双曲线中。

例10.(2009重庆理15)．已知双曲线的左、右焦点分别为

，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是　　　　　．

[解析一]根据已知条件点不会是双曲线的顶点，否则无意义。

因为在中，由正弦定理得,

则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，

，

由椭圆的几何性质知

整理得解得，

故椭圆的离心率

[解析二]由焦半径公式得，

例11.(2009浙江6)．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是(　 )　　

A．　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

[命题意图]对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．

[解析]对于椭圆，因为，则　　故选D。

4.直线与圆锥曲线的位置关系问题：

对直线与圆锥曲线位置关系的考查主要有两种题型：一是判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)；二是根据直线与圆锥曲线的某种位置关系，考查直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题。

其解题通法就是将直线方程和圆锥曲线方程联立，消元，转化为一元二次方程，看二次项系数及判别式，应用根与系数的关系，结合坐标变换，得到等式或不等式，甚至是函数，通过判别式的辅助作用，将问题解决，不要害怕计算量大，考的就是心态。

例12.(2008辽宁21)．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．(Ⅰ)写出C的方程；

(Ⅱ)设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？

解：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．

(Ⅰ)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为．··················································································· 4分

(Ⅱ)设，其坐标满足

　消去y并整理得，

故．······································································· 6分

，即．而，

于是．

所以时，，故．························································ 8分

当时，，．

，

而，

所以．··································································································· 12分

5.有关最值(取值范围)的问题

　　在解析几何中求最值，主要有两种策略：(1)代数法，建立目标函数，转化为求函数的最值问题，根据目标函数的特点可分别采用配方法、判别式法及函数的单调性等方法求最值，求解过程中，要特别注意自变量的取值范围。(2)几何法，若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质简捷求解。

例13.(2009全国卷Ⅰ，21)(本小题满分12分)

　如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。

　(I)求得取值范围；

　(II)当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标

解：(I)将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．(＊)

抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程(＊)有两个不相等的正根即可.

由此得，解得.

(II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点．

　设四个交点的坐标分别为、、、。

则由(I)根据韦达定理有，

则

令，则　　下面利用导数求的最大值。

令。，

得(舍去)。可判断当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。

6.有关定值(定点)的问题

　　要证明曲线过定点，首先要引入恰当的参变量，建立曲线的方程，按照参数进行集项，把方程化为一端为零的形式，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要等于零，这样就得到一个关于的方程组，这个方程组的解就是曲线系所过定点的横纵坐标。

　　证明定值主要是观察相关的几个几何量，用设定的或题中给出的参数表示出来，再将欲证得几何量之间的关系式化简为一个与参数无关的定值问题。

例14.(2009辽宁，20)。(本小题满分12分)

已知椭圆C过点A，两个焦点为(－1，0)，(1，0)。

(1)　　　求椭圆C的方程；　　　　

(2)　　　 E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

解：(Ⅰ)由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，(舍去)

所以椭圆方程为。　

(Ⅱ)设直线AE方程为：，代入得

　设,,因为点在椭圆上，所以

　　　　　，。

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-K代K，可得

，，

所以直线EF的斜率

即直线EF的斜率为定值，其值为。

7.向量与圆锥曲线的综合问题

　　主要题型有两类：(1)将向量作为工具解答圆锥曲线问题；(2)以解析几何为载体，向量作为条件融入题设条件中。向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，其解题策略就是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，沟通点与点之间的坐标关系。

例15.(2009北京理19)．(本小题共14分)

已知双曲线的离心率为，右准线方程为(可改为)。(Ⅰ)求双曲线的方程；

(Ⅱ)设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交

于不同的两点，证明的大小为定值　　　　　　　

[解]本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

(Ⅰ)由题意，得，解得，　　　∴，

∴所求双曲线的方程为.

(Ⅱ)点在圆上，　　圆在点处的切线方程为，化简得. 　　

由及得，

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，且，　　

设A、B两点的坐标分别为，则，　　

∵，且，

.　　 ∴ 的大小为　

例16.(2008海南宁夏20)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：的左、右焦点分别为F₁、F₂。F₂也是抛物线C₂：的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且。

(1)求C₁的方程；(2)平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C₁交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程。

解：(Ⅰ)由：知．

设，在上，因为，所以，

得，．在上，且椭圆的半焦距，于是

消去并整理得，

解得(不合题意，舍去)．故椭圆的方程为．

(Ⅱ)由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，

因为，所以与的斜率相同，故的斜率．

设的方程为．由消去并化简得

．设，，

，．因为，所以．

．

所以．此时，

故所求直线的方程为，或．

(一) 要重点掌握圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等基础知识和基本应用

1. 椭圆是要求掌握的内容，是高考的重点，是高考必考的内容。

(1)要重视概念的复习及应用，只要涉及到椭圆上的点到焦点的问题(焦点三角形)，要联想到定义，且注意正、余弦定理的使用。

例1.(2009广东，11)．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为　　　　　．

[解析]，，，，则所求椭圆方程为.

(人教A版选修2-1第48页练习题3(1)题：焦点在轴上，，求椭圆方程)

(2)椭圆的性质：椭圆中有“两线”(两条对称轴)，“六个点”(两个焦点、四个顶点)，“两形”(椭圆上的点与两个焦点构成焦点三角形，周长为；一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，有)，注意他们之间的位置关系，重视离心率的有关计算，，对焦点在轴上的椭圆，焦半径(，由)

例2.(2009江苏13．)如图，在平面直角坐标系中，为椭圆

的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为　　　　　 .

[解析] 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。

直线的方程为：；

直线的方程为：。二者联立解得：，　　

则在椭圆上，

，　　

解得：

(3)掌握以下有关“最值”的结论：设是椭圆的点。

① 的最大值为，最小值为。

② 的最大值为，最小值为；的最大值为，

最小值为。

③ 设，，是过焦点F的弦，则弦长，此时

最长的弦为长轴，最短弦为通经。

④ 焦点三角形的问题，椭圆上的点与两焦点构成的称为焦点三角形，设，，则，当，即为短轴端点时，最大。

⑤对焦点三角形,若,，则这个三角形的面积。当且仅当点为椭圆短轴端点时面积最大(利用椭圆的定义、余弦定理)。

例3.(2009上海，9)。已知、是椭圆(＞＞0)的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=　　　　 . 　　　　　　

[解析]依题意，由可得4c²+36＝4a²，即a²－c²＝9，

故有b＝3.

(若用上述结论可直接求出，

2. 双曲线是了解的内容，一般以客观题的形式出现，重点复习双曲线的定义应用，求双曲线的标准方程，渐近线、离心率的计算等。

(1)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是整条双曲线，还是双曲线的一支(与椭圆类比)。

例4.(2009辽宁，16)。以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为　　　　　　。

[答案]9

[解析]注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),

于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4，而|PA|+|PF’|≥|AF’|＝5，

　　两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.

(2)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(焦点三角形，其面积为；特征三角形)，研究他们之间的相互联系。(在特征中，它几乎包含了双曲线的所有基本特征量：，，，所在的直线即为双曲线的渐近线)。渐近线是刻画双曲线的一个重要概念，画双曲线时，应先画出他的渐近线。把标准方程(中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。由渐近线的斜率就可以求出双曲线的离心率。