摘要：(二)要熟练掌握解决有关圆锥曲线问题的通性通法.打好坚实的基础. 解析几何所研究的问题有两类:一是根据条件求圆锥曲线的方程,二是根据方程讨论曲线的几何性质.因此.在复习时要重点掌握好圆锥曲线中的一些基本问题. 1.求圆锥曲线的标准方程:这是圆锥曲线中的基本问题.也是高考的热点问题.求圆锥曲线的标准方程常常使用定义法与待定系数法.可采用“先定形(焦点位置或对称轴的位置).后定式.再定量(方程中待定的系数或).求解时.要根据圆锥曲线的几何性质进行分析.理清其关系.挖掘其联系. 注意:求曲线的标准方程易忽视焦点的位置. 2.求曲线的轨迹方程:文科虽不做要求.但课本中有这样问题.也是高考的热点.难度有所降低.因此必须认真对待.轨迹问题具有两个方面:一是求轨迹方程,二是由轨迹方程研究轨迹的性质.这两方面的问题在历年高考中均有出现.在复习时要掌握求轨迹方程的思路和方法.要学会如何将解析几何的位置关系转化为代数的数量关系进而转化为坐标关系.求轨迹方程常用的方法有定义法.直接法.代入法.参数法等. 注意:①轨迹与轨迹方程的区别,②轨迹方程的纯粹性与完备性. 例8. 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点.焦点在s轴上.它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (Ⅰ)求椭圆C的方程, (Ⅱ)若P为椭圆C上的动点.M为过P且垂直于x轴的直线上的点.=λ.求点M的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线. 解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为.由已知得 . 所以椭圆的标准方程为 (Ⅱ)设.其中.由已知及点在椭圆上可得 . 整理得.其中. (i)时.化简得 所以点的轨迹方程为.轨迹是两条平行于轴的线段. (ii)时.方程变形为.其中 当时.点的轨迹为中心在原点.实轴在轴上的双曲线满足的部分. 当时.点的轨迹为中心在原点.长轴在轴上的椭圆满足的部分, 当时.点的轨迹为中心在原点.长轴在轴上的椭圆. (人教A版选修2-1第二章复习题A组第4题:当从到变化时.方程 表示的曲线的形状怎么变化?) 例9.． 已知曲线与直线交于两点和.且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域为．设点是上的任一点.且点与点和点均不重合． (1)若点是线段的中点.试求线段的中点的轨迹方程, (2)若曲线与有公共点.试求的最小值． 解:(1)联立与得.则中点.设线段的中点坐标为.则.即.又点在曲线上.∴化简可得.又点是上的任一点.且不与点和点重合.则.即.∴中点的轨迹方程为(). (2)曲线. 即圆:.其圆心坐标为.半径 由图可知.当时.曲线与点有公共点,当时.要使曲线与点有公共点.只需圆心到直线的距离.得.则的最小值为. 3.求解圆锥曲线的性质:求解圆锥曲线的几何性质一定要先把方程化为标准形式.明确的值.要结合图形进行分析.即使不画出图形.思考时也要联想到图形.当涉及到顶点.焦点.离心率.渐近线.准线等基本量时.要理清它们之间的关系.建立基本量之间的联系.特别是离心率的计算是高考必考的内容.若求离心率的值.一般是根据题目给出的椭圆.双曲线的几何特征.建立关于的方程或不等式来求得离心率的值或范围(求范围时.要挖掘题中的不等关系.例曲线上点的坐标的范围.等). 注意:在椭圆中,在双曲线中. 例10.．已知双曲线的左.右焦点分别为 .若双曲线上存在一点使.则该双曲线的离心率的取值范围是 ． [解析一]根据已知条件点不会是双曲线的顶点.否则无意义. 因为在中.由正弦定理得, 则由已知.得.即.且知点P在双曲线的右支上. . 由椭圆的几何性质知 整理得解得. 故椭圆的离心率 [解析二]由焦半径公式得. 例11.．已知椭圆的左焦点为.右顶点为.点在椭圆上.且轴. 直线交轴于点．若.则椭圆的离心率是( ) A． B． C． D． [命题意图]对于对解析几何中与平面向量结合的考查.既体现了几何与向量的交汇.也体现了数形结合的巧妙应用． [解析]对于椭圆.因为.则 故选D. 4.直线与圆锥曲线的位置关系问题: 对直线与圆锥曲线位置关系的考查主要有两种题型:一是判断已知直线与曲线的位置关系,二是根据直线与圆锥曲线的某种位置关系.考查直线与曲线相交的弦长.中点.最值.定值.点的轨迹.参数问题及相关的不等式与等式的证明问题. 其解题通法就是将直线方程和圆锥曲线方程联立.消元.转化为一元二次方程.看二次项系数及判别式.应用根与系数的关系.结合坐标变换.得到等式或不等式.甚至是函数.通过判别式的辅助作用.将问题解决.不要害怕计算量大.考的就是心态. 例12.． 在平面直角坐标系中.点P到两点.的距离之和等于4.设点P的轨迹为．(Ⅰ)写出C的方程, (Ⅱ)设直线与C交于A.B两点．k为何值时?此时的值是多少? 解:本小题主要考查平面向量.椭圆的定义.标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识.考查综合运用解析几何知识解决问题的能力． (Ⅰ)设P(x.y).由椭圆定义可知.点P的轨迹C是以为焦点.长半轴为2的椭圆．它的短半轴. 故曲线C的方程为．··················································································· 4分 (Ⅱ)设.其坐标满足 消去y并整理得. 故．······································································· 6分 .即．而. 于是． 所以时..故．························································ 8分 当时..． . 而. 所以．··································································································· 12分 5.有关最值的问题 在解析几何中求最值.主要有两种策略:(1)代数法.建立目标函数.转化为求函数的最值问题.根据目标函数的特点可分别采用配方法.判别式法及函数的单调性等方法求最值.求解过程中.要特别注意自变量的取值范围.(2)几何法.若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义.则考虑用图形性质简捷求解. 例13.(2009全国卷Ⅰ.21) 如图.已知抛物线与圆相交于...四个点. (I)求得取值范围, (II)当四边形的面积最大时.求对角线.的交点坐标 解:(I)将抛物线与圆的方程联立.消去.整理得．．．．．．．．．．．．．(＊) 抛物线与圆相交于...四个点的充要条件是:方程(＊)有两个不相等的正根即可. 由此得.解得. (II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标.因此利用设而不求.整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点． 设四个交点的坐标分别为.... 则由(I)根据韦达定理有. 则 令.则 下面利用导数求的最大值. 令.. 得.可判断当时.有最大值.即四边形ABCD的面积最大.故所求的点P的坐标为. 6.有关定值的问题 要证明曲线过定点.首先要引入恰当的参变量.建立曲线的方程.按照参数进行集项.把方程化为一端为零的形式.既然是过定点.那么这个方程就要对任意参数都成立.这时参数的系数就要等于零.这样就得到一个关于的方程组.这个方程组的解就是曲线系所过定点的横纵坐标. 证明定值主要是观察相关的几个几何量.用设定的或题中给出的参数表示出来.再将欲证得几何量之间的关系式化简为一个与参数无关的定值问题. 例14.. 已知椭圆C过点A.两个焦点为. (1) 求椭圆C的方程, (2) E,F是椭圆C上的两个动点.如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明直线EF的斜率为定值.并求出这个定值. 解:(Ⅰ)由题意.c=1,可设椭圆方程为.解得. 所以椭圆方程为. (Ⅱ)设直线AE方程为:.代入得 设,,因为点在椭圆上.所以 . . 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数.在上式中以-K代K.可得 .. 所以直线EF的斜率 即直线EF的斜率为定值.其值为. 7.向量与圆锥曲线的综合问题 主要题型有两类:(1)将向量作为工具解答圆锥曲线问题,(2)以解析几何为载体.向量作为条件融入题设条件中.向量与解析几何的结合通常涉及到夹角.平行.垂直.共线.轨迹等问题的处理.其解题策略就是将几何问题坐标化.符号化.数量化.从而将推理转化为运算.沟通点与点之间的坐标关系. 例15.． 已知双曲线的离心率为.右准线方程为(可改为).(Ⅰ)求双曲线的方程, (Ⅱ)设直线是圆上动点处的切线.与双曲线交 于不同的两点.证明的大小为定值 [解]本题主要考查双曲线的标准方程.圆的切线方程等基础知识.考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法.考查推理.运算能力． (Ⅰ)由题意.得.解得. ∴. ∴所求双曲线的方程为. (Ⅱ)点在圆上. 圆在点处的切线方程为.化简得. 由及得. ∵切线与双曲线C交于不同的两点A.B.且. ∴.且. 设A.B两点的坐标分别为.则. ∵.且. . ∴ 的大小为 例16.在直角坐标系xOy中.椭圆C1:的左.右焦点分别为F1.F2.F2也是抛物线C2:的焦点.点M为C1与C2在第一象限的交点.且. (1)求C1的方程,(2)平面上的点N满足.直线l∥MN.且与C1交于A.B两点.若·=0.求直线l的方程. 解:(Ⅰ)由:知． 设.在上.因为.所以. 得.．在上.且椭圆的半焦距.于是 消去并整理得. 解得(不合题意.舍去)．故椭圆的方程为． (Ⅱ)由知四边形是平行四边形.其中心为坐标原点. 因为.所以与的斜率相同.故的斜率． 设的方程为．由消去并化简得 ．设.. .．因为.所以． ． 所以．此时. 故所求直线的方程为.或．

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