学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A版)》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．

本设计遵循了由浅入深、循序渐进的原则，分三步来展开这部分的内容。第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系。第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系。本节只是函数与方程的关系建立的第一步，教学中忌面面具到，延展太深。

恰当使用信息技术：本节的教学中应当充分使用信息技术。实际上，一些内容因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的。因此，教学中会加强信息技术的使用力度，合理使用多媒体和计算器。

泉州九中陈美珠

点评

本节课在尝试解答五次方程失败后，教师用浓缩的数学史的简介活跃了课堂气氛，使学生受到数学文化的熏陶，并产生探索新知识的欲望。紧接着，借助二次函数的图象与x轴是否有交点的事实与一元二次方程的根的关系出发，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形，引入了函数零点的定义，体现了从具体到一般的思维过程。随后，利用函数图像和几个填空题引导探索函数零点的存在，初步得到函数零点存在的判定方法，体现了数形结合的思想方法。为了多角度深刻理解函数零点存在定理的内涵，教师构造了4个探究问题。4个探究问题是本节课亮点，例子设计精巧，层层递进，由此引发了学生积极的思考、探索与交流。

设计中体现了师生主动参与体验的有机结合，激发了学生探索新知的兴趣，重点突出，容量适中，由浅入深，环环相扣。整个教学过程教师只是指导、点评，充分展示知识发生、发展的过程，由学生自主建构，在此过程中获得对知识的亲身体验，把教学的主动权给了学生，鼓励学生自主探索、研究性学习，使学生成为真正意义上的学习主人。

值得商讨的是，在给出函数零点的概念后，要让学生明确“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切的联系，但不能将它们混为一谈。这是个难点，教师未能在此有所突破。

8、用二分法求方程的近似解

4、探索研究(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)

讨论：请大家给方程的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？

[师生互动]

师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性。也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生学习潜能和热情。老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况。

生：分组讨论，各抒己见。在探究学习中得到数学能力的提高

第五阶段设计意图：

一是为用二分法求方程的近似解做准备

二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的。

5课堂小结：

零点概念

零点存在性的判断

零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方程根所在区间

6作业回馈

教材P₁₀₈习题3．1(A组)第1、2题；

思考：总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方程的近似解吗？

教学程序设计框图：

　　　　　　　　　　　　　　 探索合理教学思想，提出教学建议。

3．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：

(1)；(2)；

[师生互动]

师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用．

生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的用二分法求方程的近似解做准备。

第四阶段设计意图：利用练习巩固新知识，加深理解，为用二分法求方程的近似解做准备

2．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

(1)；(2)；

1．求函数，并画出它的大致图象．

3、练习尝试(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)

2、例范研究

例1.已知函数f(x)= －3x⁵－6x+1有如下对应值表：

函数y＝f(x)在哪几个区间内必有零点？为什么？

设计意图通过本例引导探索，师生互动

探求1：如果函数y＝ f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)>0时，函数在区间(a，b)内没有零点吗?

探求2：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内有零点，但是否只一个零点？

探求3：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间(a，b)内有零点时一定有f(a)·f(b)<0 ？

探求4：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间(a，b)内有零点时一定有f(a)·f(b)<0 ？

图5(反例)

师：总结两个条件：

1)函数y＝ f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线

2)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0

一个结论：函数y＝　 f(x)在区间[a，b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点

补充：什么时候只有一个零点？

(观察得出)函数y＝f(x)在区间[a，b]内单调时只有一个零点

例2．求函数的零点个数．问题：

1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

2)判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

第三阶段设计意图：

教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用,应用例1，例2加深对定理的理解

1.2零点存在性的探索

[师生互动]

师：要求生用连续不断的几条曲线连接如图4　 A、B两点，观察所画曲线与直线l的相交情况，由两个学生上台板书：

　　 ．A

　a 　　　　　　　　　　　　　　　b　　　　　　　　　　　　　　　　 l

．B

　　　　　　　　 　　　　　　　　　图4

生：两个学生画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交。

师：再用连续不断的几条函数曲线连接如图A、B两点，引导学生观察所画曲线与直线l的相交情况，说明连接A、B两点的函数曲线交点必在区间 (a，b) 内。

生：观察下面函数f(x)＝0的图象(如图5)并回答

图5

①区间[a，b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0(＜或＞)。

②区间[b，c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0(＜或＞)。

③区间[c，d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0(＜或＞)。

师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。

生：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论)

一般地，我们有：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c ∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。

第二阶段设计意图：

教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理，培养归纳总结能力和逻辑思维