4.[巩固]，[迁移](1)2，(2)x²+y²+xy-1=0

1．[巩固]记：(B、C、C^/共线)，则=∴||≥||即对直线BC上任意一点C^/都有|A C^/|≥|AC|∴AC ⊥BC，故选C；[迁移] ||=，∴A点在以C为圆心，为半径的圆上，图示，选D， 2、[巩固](1)，(2)-= (sin,1-cos),tan==tan,∈(0,);[迁移]记⊿ABC中BC边上的高为，则||sinB=||sinC=,=+(+),记BC的中点为M, =+2,选C；3、 [巩固1]C，[巩固2] (1)(2)以为x轴正向，O为原点建系，=(c,0),记Q(x₀,y₀), =(x₀-c,y₀),则：c(x₀-c )=1,且c|y₀|=,得：x₀=,|y₀|=,∴||²=记：t=,(t≥4),g(t)=在[4，递增，∴当t=4即c=2，x₀=时，||最小，此时Q(，±)，Q在椭圆上且c=2，求得椭圆方程：；

[迁移] ()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又

= ∴∠A=，所以△ABC为等边三角形，选A。

4．关注平面向量基本定理中的关键词：…、不共线…有且仅有一对实数、…。

[举例] 设同一平面内的两向量、不共线，是该平面内的任一向量，则关于x的方程x²+x+=的解的情况，下列叙述正确的是：(　　 )

A．至少有一个实数解　　　 B．至多有一个实数解　

C．有且只有一个实数解　　 D．可能有无数个解

解析：此题不可用“判别式”，“判别式”只能判别实系数一元二次方程的根的情况，而本题中二次方程的系数是向量。原方程即： =- x²- x，∵、不共线，可视为“基底”，

根据平面向量基本定理知，有且仅有一对实数、使得= - x²且= - x，即当

= -²时方程有一解，否则方程无解，故选B。

[巩固]已知、分别是⊿ABC的边BC、AC上的中线，且=，=，则可以用向量、表示为　　　　　　 。

[迁移]如图，在平面斜坐标系中，∠=60⁰，平面上任

一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若=x+y，

其中、分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点的

斜坐标为(x,y).

(1)若点P的斜坐标为(2，-2)，求P到O的距离|PO|；(2)求以O为圆心、1为半径的圆在斜坐标系中的方程。

简答

3．向量的数量积：(符号运算)；其中可视为向量 在向量 上的射影。向量的数量积是数而不是向量，向量的射影是数而未必是正数。。向量的数量积满足交换率、对加(减)法的分配率、不满足结合率，即(·)·≠·(·)，一个等式的两边、一个分式的分子分母不能同乘以或同除以一个向量。若=(x₁,y₁), =(x₂,y₂),则·= x₁ x₂+y₁ y₂(坐标运算);在使用向量数量积的公式时，要根据题目的条件和设问特点选择使用符号运算还是坐标运算。

应用：(1)角度：且；可视为与、同向的两个单位向量的数量积；<,>为锐角>0且、不共线，<,>为锐角

>0且、不共线；特别地：0x₁ x₂+y₁ y₂=0；

O是⊿ABC的垂心·=·=·(请读者证明这个结论)。

(2)长度： 即∣∣²=()²(符号运算)；∣∣²=x₁²+y₁² (坐标运算)。

⊥|-|=|+|(矩形)，(-)⊥(+)||=||(菱形)，

|-|²+|+|²=2(||²+||²)(即平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，对已知三角形三边长求中线长的问题用这个结论很快捷)。

[举例1]已知=(1，0)，=(0，1)，求使向量+k与向量+2k的夹角为锐角的k的取值范围。

解析：+k=(1，k)，+2k=(2k，1)，向量+k与向量+2k的夹角为锐角

(+k)(+2k)>0,且+k与+2k不共线，即2k+k>0且2k²≠1得：k>0,且k。

[举例2]已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，-sin)，且x∈［，］.

(1)　 求及|+|；(II)求函数f(x)＝-的最小值。

解析：(Ⅰ)= coscos-sinsin=cos2x (坐标运算),

== -2cosx(符号运算)；

(Ⅱ)f(x)= cos2x +2cosx =2 cos²x+2cosx-1=2(cosx+)²， cosx∈[-1，0]

当cosx =0时f(x)取得最小值。

[巩固1]已知与的夹角为60°，如果，则m的值为(　)A.　　　　B.　　　C.　　　D.

[巩固2] 已知△OFQ的面积为S，且，(1)若<S<2,求向量与的夹角θ的取值范围； (2)设||=，S =，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||取得最小值时，求此椭圆的方程.

[迁移] 已知非零向量与满足且则为(　　 )

(A)等边三角形(B)直角三角形 (C)等腰非等边三角形 (D)三边均不相等的三角形

2.在≠0时，∥(即、共线)存在实常数使=(特别地：当>0时同向，当<0时反向)；若=(x₁,y₁), =(x₂,y₂),则∥x₁y₂=x₂y₁(“共线”的坐标表示)。引申：若A、B、P三点共线，则；拓展：若则A、B、C共线当且仅当=1。[关注]表示与向量同向的单位向量，()，>0表示∠BAC的平分线。

[举例]设、是两个起点相同且不共线的非零向量，则当实数t=______时，,t,(+)三向量的终点共线

解析：记=，t=，(+)=，A、B、C三点共线即向量、共线存在实数，使得=即：t-=(-)，∵、不共线(很重要！)

∴t=且1= t=。注意：若、不共线的非零向量，且m+n=p+q则：

M=n且p=q(m,n,p,q是实数)，读者可以思考一下为什么？

[巩固]非零向量=(sin,1), =(0,cos),-所在的直线的倾角为，(1)若与共线，求的值；(2)当∈(0，)时，求证：=/2 。

[迁移]是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：=+

则P点的轨迹一定通过△ABC的的轨迹一定通过△ABC的

(A)外心　　　　　　　　　　　 (B)内心　　　　　　　 (C)重心　　　　　　　 (D)垂心

1．向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则(对角线)，首尾相接适用“蛇形法则”()，表示ABC的边BC的中线。向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，(终点连结而成的向量，指向被减向量)，||表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线长分别为|+|、|-|。是的重心。会用“模不等式”：|||-|||≤≤||+||解决有关模的范围问题，关注等号成立的条件。

[举例1] 已知△ABC的三个顶点A、B、C及其所在平面内一点P，满足++=，则点P与△ABC的关系为：　　　

A. P在△ABC内部　 　　　　　　 B. P在△ABC外部　　

C. P在边AB所在的直线上　　　　 D. P是AC边的一个三等分点

解析：由++=+=++==-2

P与A、C共线且为线段AC的三等分点，选D。

[举例2]已知=(3，4)， =1，则||的取值范围是­­­__________

解析：思路一：用“模不等式” ≥|||-||||5-|||≤1||∈[4，6]。

思路二：记=，=，则A(3，4)，=||=1，即点B到定点A的距离为1，∴点B在以A为圆心，1为半径的圆周上，数形结合不难得到||∈[4，6]，即||∈[4，6]。

[巩固] 已知⊿ABC，若对任意t∈R，||≥||，则

A．∠A=90⁰ B．∠B=90⁰ 　　　C．∠C=90⁰　　　　 D．∠D=90⁰

[迁移]已知向量=(2，0)，向量=(2，2)，向量=(cos,sin)，则向量与向量的夹角范围为：(A) [0,] (B) [,]　 (C) [,]　 (D) [,]

7. [巩固] (1),(2),[提高] y=cosb=cos(+-),注意y=cosb>0,选A;

6. [巩固] 2sin=1+cos，得sincos=2cos²,得cos=0或tan=2,再对sin+2cos使用“万能公式”或化成半角后“弦化切”求得值为：-2或2。

[迁移] ==cos,

=，∵∈(0，)，

∈(0，)，∴θ₁=,θ₂=,∴=sin(θ₁-θ₂-)=sin(-)=- 。

5.[巩固]B，[迁移1]C，[迁移2]记：sinx+cosx=t

(1≤t≤),f(x)=(t-1)∈[0，]

1., [巩固1]B[巩固2](); 2. [巩固] 易见是锐角三角形，若是锐角三角形，与三角形内角为矛盾，选D，[提高]记直线倾角为，tan=-cot=tan(+),确定角的范围后选C，3 、[巩固]3，,4. [巩固1]，[巩固2]2，[迁移]注意：-与+互余，选 A;