6．抛物线y²=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为__________，1)

5．设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P_i(i=1，2，3，…)，使|FP₁|，|FP₂|，|FP₃|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为____

.

4．已知点P是抛物线y²=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d₁, 到直线x+2y+10=0的距离为d₂,则d₁+d₂的最小值为　 ( C　 )

A．5　　　　　　　　　 B．4　　　　　　　　　　 C．　　　　　　 (D)

3．已知双曲线，过其右焦点F的直线l交双曲线于AB，若|AB|=5，则直线l有( B )

A．1条　　　　 B．2条　　　　 C．3条　　　 D．4条

2．已知A(3，2)、B(－4，0)，P是椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为(　 C　 )

A．10　　 B．　 C．　　　　　　 D．

1．设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为F₁(-c，0)，则△F₁AB的面积最大为(　 A　 )

A．bc　　　　　　　　　 B．ab　　　　　　　　　 C．ac　　　　　　　　　 D．b²

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。

[文]设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值。

解: 依题意可设P(0,1), Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,

所以x²=a²(1－y²) , |PQ|²= a²(1－y²)+y²－2y+1=(1－a²)y²－2y+1+a²

　　　 =(1－a²)(y－ )²－+1+a² .

因为|y|≤1,a>1, 若a≥, 则||≤1, 当y=时, |PQ|取最大值;

若1<a<,则当y=－1时, |PQ|取最大值2.

[范例4]已知△OFQ的面积为，

(1)设，求ÐOFQ正切值的取值范围；

(2)设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q(如图)， 当 　取得最小值时，求此双曲线的方程。

解析：(1)设ÐOFQ =q

(2)设所求的双曲线方程为

∴，∴

又∵，∴

当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标是或

　，所求方程为

[点晴]当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。

[文]已知椭圆的一个焦点为F₁(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。

(1)求椭圆方程；

(2)是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。

(1)解：依题意e ，

　　 ∴a＝3，c＝2，b＝1，

　　 又F₁(0，－2)，对应的准线方程为

　　 ∴椭圆中心在原点，所求方程为

　(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分

∴直线l的斜率存在。 设直线l：y＝kx+m

由消去y，整理得 (k²+9)x²+2kmx+m²－9＝0

∵l与椭圆交于不同的两点M、N，

∴Δ＝4k²m²－4(k²+9)(m²－9)＞0　 即m²－k²－9＜0　　　　　　 ①

设 M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)　 　　　　②

把②代入①式中得

∴k＞或k＜－

∴直线l倾斜角

★★★自我提升

6．设椭圆方程为，过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求(1)动点P的轨迹方程；(2)的最小值与最大值.

[专家解答](1)法1：直线l过点M(0，1)设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.

所以

于是

设点P的坐标为(x,y), 则

消去参数k得4x²+y²-y=0　　 ③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③，

所以点P的轨迹方程为4x²+y²-y=0

解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在椭圆上，所以

　 ④　　　　　 　　⑤

④-⑤得，

所以

当时，有　　　 ⑥

并且　　 ⑦　 将⑦代入⑥并整理得 4x²+y²-y=0　　 ⑧

当x₁=x₂时，点A、B的坐标为(0，2)、(0，－2)，这时点P的坐标为

(0，0)也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

(2)由点P的轨迹方程知所以

故当，取得最小值，最小值为

当时，取得最大值，最大值为

★★★高考要考什么

[考点透视]

与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。

[热点透析]

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：

(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

(2)不等式(组)求解法：利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围；

(3)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

(4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

(5)结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：

① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；

② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；

(6)构造一个二次方程，利用判别式D³0。

★★★突破重难点

[范例1]已知动点P与双曲线的两个焦点F₁、F₂的距离之和为定值，且cosÐF₁PF₂的最小值为．

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上且，求实数l的取值范围．

讲解　(1)由题意c²=5．设|PF₁|+|PF₂|=2a()，由余弦定理, 得

．

又·，　　　

当且仅当|PF₁|=|PF₂|时，|PF₁|·|PF₂| 取最大值，

此时cosÐF₁PF₂取最小值，令，

解得a²=9，，∴b²=4，故所求P的轨迹方程为.　

(2)设N(s,t)，M(x,y)，则由，可得(x，y-3) =l(s，t-3)，

故x=ls，y=3+l(t-3).　　　　　

∵M、N在动点P的轨迹上，

且，

消去s可得，解得，

又|t|£2，∴，解得，

故实数l的取值范围是．

[点晴]为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等．

[文]已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.

(Ⅰ)求W的方程；

(Ⅱ)若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.

解：(Ⅰ)依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

所求方程为： (x>0)

(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x₀，

此时A(x₀，)，B(x₀，－)，＝2

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+b，

代入双曲线方程中，得：(1－k²)x²－2kbx－b²－2＝0

依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则

解得|k|>1，

又＝x₁x₂+y₁y₂＝x₁x₂+(kx₁+b)(kx₂+b)

＝(1+k²)x₁x₂+kb(x₁+x₂)+b²＝>2

综上可知的最小值为2

[范例2]给定点A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。

解析：因为椭圆的，所以，而为动点B到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义

于是 为定值

其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为

所以，当取得最小值时，B点坐标为

[点晴]在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化折为直，是一种简便而有效的好方法。

[文]点A(3，2)为定点，点F是抛物线y²=4x

的焦点，点P在抛物线y²=4x上移动，若|PA|+|PF|

取得最小值，求点P的坐标。

解：抛物线y²=4x的准线方程为x=-1，

设P到准线的距离为d，则|PA|+|PF|=|PA|+d。

要使|PA|+|PF|取得最小值，由图3可知过A点

的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2

代入y²=4x，得P(1，2)。

[范例3]已知P点在圆x²+(y-2)²=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。

解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O₁时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O₁Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O₁Q|²= x²+(y-4)²　 ①

因Q在椭圆上,则x²=9(1-y²)　　 ②

将②代入①得|O₁Q|²= 9(1-y²)+(y-4)²

因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，

此时

[点晴]1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；

5．已知抛物线y²=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，则y₁²+y₂²的最小值是　 32　　　 .

4．已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|,则此双曲线的离心率e的最大值为：(B)

　　　 (A)　　　　 　　 (B)　　　　 　　　 (C)　　　　　 　 (D)