5．是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：

①　　　 ②

③　　　 ④

其中真命题的编号是 ①、④ ;(写出所有真命题的编号)

4．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结

论中不成立的是(C)

(A)BC//平面PDF　　　　 　(B)DF⊥平面PA E

(C)平面PDF⊥平面ABC　　 (D)平面PAE⊥平面 ABC

3．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平

面的距离是4cm，则该球的体积是( C )　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(A)　 (B) 　　(C) 　　(D)

2．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的 (C)

(A)若AC与BD共面，则AD与BC共面

(B)若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线

(C) 若AB=AC，DB=DC，则AD=BC

(D) 若AB=AC，DB=DC，则AD BC

1．设、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．那么( D )

(A) ①是真命题，②是假命题　　 (B) ①是假命题，②是真命题

(C) ①②都是真命题　　　　　　 (D) ①②都是假命题

3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．

[范例4]如图，在长方体AC₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

(1)证明：D₁E⊥A₁D；

(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

(3)AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为.

解析：法1

(1)∵AE⊥面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

(2)设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

(3)过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，

　 　　∴∠DHD₁为二面角D₁-EC-D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x

法2：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁(1，0，1)，D₁(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).

(1)

(2)因为E为AB的中点，则E(1，1，0)，

从而，，

设平面ACD₁的法向量为，

则也即，得，

从而，所以点E到平面AD₁C的距离为

(3)设平面D₁EC的法向量，

∴

由　 令b=1, 　∴c=2, a=2－x，

∴依题意

∴(不合，舍去)， .

∴AE=时，二面角D₁-EC-D的大小为.

[点晴]由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，是一种新型题目，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，应引起重视，解决这类问题，常用分析法寻找思路。

[文]如图，已知长方体，，直线与平

面所成的角为，垂直于为的中点．

(Ⅰ)求异面直线与所成的角；

(Ⅱ)求平面与平面所成二面角(锐角)的大小；

(Ⅲ)求点到平面的距离

解(Ⅰ)连结，过F作的垂线，垂足为K，

∵与两底面ABCD，都垂直，

∴

又

因此∴为异面直线与所成的角

连结BK，由FK⊥面得，从而为

在 和中，

由得

又， ∴

∴异面直线与所成的角为

(Ⅱ)由于面由作的垂线

，垂足为，连结，则

∴即为平面与平面所成二

面角的平面角。且，在平面中，延长与；交于点。

∵为的中点

∴、分别为、的中点，即。

∴ 为等腰直角三角形，垂足点实为斜边的中点F，即F、G重合。

易得，在中，。

∴，∴，

即平面于平面所成二面角(锐角)的大小为。

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面是平面与平面所成二面角的平面角所在的平面

∴面在中，由A作

AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离.

由AH·DF=AD·AF，得

所以点A到平面BDF的距离为

[点晴]本题综合考查了立体几何的知识，异面直线之间的夹角，面面夹角及点与面的距离，考查学生的空间想象能力。

★★★自我提升

2．多用转化的思想求线面和面面距离；

1．常规遵循一作二证三计算的步骤；

2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：

①体积法；　　 ②直接法,找出点在平面内的射影

★★★高考将考什么

[范例1]如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．

(1)证明//平面；

证明平面．

解析：(Ⅰ)取CD中点M，连结OM.

在矩形ABCD中，，又，则，

连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.

又平面CDE， EM平面CDE，　 ∴ FO∥平面CDE

(Ⅱ)证明：连结FM，由(Ⅰ)和已知条件，在等边△CDE中，

且.

因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，

∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO. 而，所以EO⊥平面CDF.

[点晴]本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。

[文]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,

AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB

=2BC，M、N分别为PC、PB的中点。

(Ⅰ)求证：PB⊥DM;

(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角

解析：方法一：

(I)因为是的中点，，所以.

因为平面，所以，从而平面.

因为平面，所以.

(II)取的中点，连结、，则，

所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.

因为平面，所以是与平面所成的角.

在中，.

故与平面所成的角是.

方法二：

以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则

.

(I)　 因为，所以

(II)　 因为，所以，

又因为，所以平面

因此的余角即是与平面所成的角.

因为，

所以与平面所成的角为.

[点晴]注意线线垂直常使用线面垂直得到解决，线面角关键是找到射影，遵循一作二证三计算的步骤。同时使用空间向量能降低对空间想象能力的要求。

[范例2]如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积；

(Ⅱ)证明PA⊥BD.

　解析：(Ⅰ)如图，取AD的中点E，

连结PE，则PE⊥AD.

作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.

根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，

所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角

的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=3，

四棱锥P-ABCD的体积V_P-ABCD=

(Ⅱ)法1　 如图，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P(0，0，3)，

A(2，－3，0)，B(2，5，0)，D(－2，－3，0)

所以

因为 所以PA⊥BD.

法2：连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算

可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，

得所以Rt△AEO∽Rt△BAD.得∠EAO=∠ABD.　

所以∠EAO+∠ADF=90°　 所以　 AF⊥BD.

因为　 直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.

[点晴]本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力，解题的关键是二面角的使用。使用空间向量能降低对空间想象能力的要求，但坐标系的位置不规则，注意点坐标的表示。

[文]在直三棱柱中，.

(1)求异面直线与所成的角的大小；

(2)若与平面所成角为，求三棱锥的体积。

解析 (1) ∵ BC∥B₁C₁, 　∴∠ACB为异面直线B₁C₁与AC所成角(或它的补角)

　　 　　∵∠ABC=90°, AB=BC=1, 　∴∠ACB=45°,

　　 　　∴ 异面直线B₁C₁与AC所成角为45°.

　 　(2) ∵ AA₁⊥平面ABC,∠ACA₁是A₁C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.

∵ ∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,∴AA₁=.

∴ 三棱锥A₁-ABC的体积V=S_△ABC×AA₁=.

[点晴]画图是学好立体几何的基本要求，本题考查了线线角和体积等立几知识。

[范例3]如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1.

(Ⅰ)求BF的长；

(Ⅱ)求点C到平面AEC₁F的距离.

解法1：(Ⅰ)过E作EH//BC交CC₁于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.

∵AF∥EC₁，∴∠FAD=∠C₁EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC₁.

∴DF=C₁H=2.

(Ⅱ)延长C₁E与CB交于G，连AG，

则平面AEC₁F与平面ABCD相交于AG.

过C作CM⊥AG，垂足为M，连C₁M，

由三垂线定理可知AG⊥C₁M.由于AG⊥面C₁MC，

且AG面AEC­₁F，所以平面AEC₁F⊥面C₁MC.

在Rt△C₁CM中，作CQ⊥MC₁，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC₁F的距离.

解法2：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，

A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C₁(0，4，3).设F(0，0，z).

∵AEC₁F为平行四边形，

(II)设为面AEC₁F的法向量，

的夹角为a，则

∴C到平面AEC₁F的距离为

[点晴]本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，空间距离也遵循一作二证三计算的步骤，但体积法是一种很好的求空间距离的方法，同学们不妨一试。

[文]正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。

(1)求点到直线AC的距离.

(2)求直线到平面的距离．

解：(1)连结BD，，由三垂线定理可得：，

所以就是点到直线AC的距离。

在中．

．

(2)因为AC与平面BD交于AC的中点D，

设，则//DE，所以//平面，

所以到平面BD的距离等于A点到平面BD

的距离，等于C点到平面BD的距离，也就等于三棱

锥的高，　　 ，

，，即直线到平面BD的距离是．

[点晴]求空间距离注意三点：

1．　 转化思想：

　① 　；

② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，

平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。