4.试用向量证明三垂线定理及其逆定理.

已知：如下图，PO、PA分别是平面α的垂线和斜线，OA是PA在α内的射影，aα，求证：a⊥PAa⊥OA.

证明：设直线a上非零向量a，要证a⊥PAa⊥OA，即证a· =0a· =0.

∵aα，a· =0，∴a·=a·(+)=a·+a·=a·.

∴a·=0a·=0，即a⊥PAa⊥OA.

评述：向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具.在应用过程中，常需要通过加、减法对向量进行转换，当然，转换的方向是有利于计算向量的数量积.

3.已知a+3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉=_____________.

解析：由条件知(a+3b)·(7a－5b)=7|a|²－15|b|²+16a·b=0，及(a－4b)·(7a－2b)=

7|a|²+8|b|²－30a·b=0.两式相减得46a·b=23|b|²，∴a·b= |b|².代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|=|b|.∴cos〈a，b〉===.

∴〈a，b〉=60°.

答案：60°

2.O、A、B、C为空间四个点，又、、为空间的一个基底，则

A.O、A、B、C四点不共线　　　　 　　　　　　　　　　 B.O、A、B、C四点共面，但不共线

C.O、A、B、C四点中任意三点不共线　　　　　 D.O、A、B、C四点不共面

解析：由基底意义，、、三个向量不共面，但A、B、C三种情形都有可能使、、共面.只有D才能使这三个向量不共面，故应选D.

答案：D

1.平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AC和BD的交点，若 =a， =b， =

c，则下列式子中与相等的是

A.－ a+ b+c　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B. a+ b+c

C. a－ b+c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.－ a－ b+c

解析：= + =+ (+)=－ + =c－ a+ b，故选A.

答案：A

5.已知四边形ABCD中，=a－2c，=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_____________.

解析：∵=++，

又=++，

两式相加，得2=(+)+(+)+(+).

∵E是AC的中点，

故+=0.同理，+=0.

∴2= +=(a－2c)+(5a+6b－8c)=6a+6b－10c.∴=3a+3b－5c.

答案：3a+3b－5c

●典例剖析

[例1] 证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y +z.

剖析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理.

解：依题意知，B、C、D三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面对空间任一点O，存在实数x₁、y₁，使得=+x₁ +y₁=+x₁(－)+y₁(－)=(1－x₁－y₁)+x₁+y₁，取x=1－x₁－y₁、y=x₁、z=y₁，则有=x+y+z，且x+y+z=1.

特别提示

向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础.共(线)面向量基本定理给出了向量共(线)面的充要条件，可用以证明点共(线)面.本题的结论，可作为证明空间四点共面的定理使用.

[例2] 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离.

解：如下图，因为∠ACD=90°，

所以· =0.同理，·=0.

因为AB与CD成60°角，

所以〈，〉=60°或120°.因为=++，

所以²=²+²+²+2·+2·+2·=²+²+²+2·=3+2×1×1×cos〈，〉= ^{4　 (〈，〉=60°)，}

^{2　 (〈，〉=120°).}

所以｜｜=2或，

即B、D间的距离为2或.

[例3] 在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD₁交平面ACB₁于点E，

求证：(1)BD₁⊥平面ACB₁；

(2)BE=ED₁.

证明：(1)我们先证明BD₁⊥AC.

∵ = + +， = +，

∴·=( + +)·(+)=·+ ·=·－·=||²－||²=1－1=0.

∴BD₁⊥AC.同理可证BD₁⊥AB₁，于是BD₁⊥平面ACB₁.

(2)设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则= = ，即2=.对于空间任意一点O，设=b， =m，=b₁，=d₁，则上述等式可改写成2(m－b)=d₁－b₁或b₁+2m=d₁+2b.记==e.此即表明，由e向量所对应的点E分线段B₁M及D₁B各成λ(λ=2)之比，所以点E既在线段B₁M(B₁M面ACB₁)上又在线段D₁B上，所以点E是D₁B与平面ACB₁之交点，此交点E将D₁B分成2与1之比，即D₁E∶EB=2∶1.∴BE=ED₁.

思考讨论

利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.

●闯关训练

夯实基础

4.已知a=(1，0)，b=(m，m)(m＞0)，则〈a，b〉=_____________.

答案：45°

3.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，向量、、是

A.有相同起点的向量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.等长的向量

C.共面向量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.不共面向量

解析：∵－==，

∴、、共面.

答案：C

2.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是

A.{a+b，b－a，a}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.{a+b，b－a，b}

C.{a+b，b－a，c}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.{a+b+c，a+b，c}

解析：由已知及向量共面定理，易得a+b，b－a，c不共面，故可作为空间的一个基底，故选C.

答案：C

1.在以下四个式子中正确的有

a+b·c，a·(b·c)，a(b·c)，|a·b|=|a||b|

A.1个　　 　　　　　　　　　 B.2个　　 　　　　　　　　　 C.3个　　 　　　　　　　　　 D.0个

解析：根据数量积的定义，b·c是一个实数，a+b·c无意义.实数与向量无数量积，故a·(b·c)错，|a·b|=|a||b||cos〈a，b〉|，只有a(b·c)正确.

答案：A

9.6　 空间向量及其运算(B)

●知识梳理

空间两个向量的加法、减法法则类同于平面向量，即平行四边形法则及三角形法则.

a·b=|a||b|cos〈a，b〉.

a²=|a|².

a与b不共线，那么向量p与a、b共面的充要条件是存在实数x、y，使p=xa+yb.

a、b、c不共面，空间的任一向量p，存在实数x、y、z，使p=xa+yb+zc.

●点击双基