摘要：在相距1400 m的A.B两哨所.听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s.已知声速340 m/s.炮弹爆炸点所在曲线的方程为 . 解析:设M(x.y)为曲线上任一点. 则|MA|-|MB|=340×3=1020<1400. ∴M点轨迹为双曲线.且a==510. c==700. ∴b2=c2-a2=(c+a)(c-a)=1210×190. ∴M点轨迹方程为-=1. 答案:-=1 ●典例剖析 [例1] 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行.地球恰好位于椭圆轨道的焦点处.当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时.经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和.求该彗星与地球的最近距离. 剖析:本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离.一般的思路:由直线与椭圆的关系.列方程组解之,或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解.同时.还要注意结合椭圆的几何意义进行思考.仔细分析题意.由椭圆的几何意义可知:只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时.彗星与地球的距离才达到最小值即为a-c.这样把问题就转化为求a.c或a-c. 解:建立如下图所示直角坐标系.设地球位于焦点F(-c.0)处.椭圆的方程为+=1. 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时.由椭圆的几何意义可知.彗星A只能满足∠xFA=(或∠xFA′=). 作AB⊥Ox于B.则|FB|=|FA|=m. 故由椭圆的第二定义可得 m=(-c). ① m=(-c+m). ② 两式相减得m=·m.∴a=2c. 代入①.得m=(4c-c)=c. ∴c=m.∴a-c=c=m. 答:彗星与地球的最近距离为m万千米. 评述: (1)在天体运行中.彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆.而恒星正是它的一个焦点.该椭圆的两个端点.一个是近地点.另一个则是远地点.这两点到恒星的距离一个是a-c.另一个是a+c. (2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的.以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想.另外.数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题.善于挖掘隐含条件.有意识地训练数学思维的品质. 思考讨论 椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少?怎样证明? 提示:利用焦半径易求得最大值为a+c.最小值为a-c. [例2] 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑.挖出的土只能沿道路AP.BP运到P处.已知PA=100 m.PB=150 m.∠APB=60°.试说明怎样运土最省工. 剖析:首先抽象为数学问题.半圆中的点可分为三类:(1)沿AP到P较近,(2)沿BP到P较近,(3)沿AP.BP到P同样远. 显然.第三类点是第一.二类的分界点.设M是分界线上的任意一点.则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|. 于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50. 从而发现第三类点M满足性质:点M到点A与点B的距离之差等于常数50.由双曲线定义知.点M在以A.B为焦点的双曲线的右支上.故问题转化为求此双曲线的方程. 解:以AB所在直线为x轴.线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy.设M(x.y)是沿AP.BP运土同样远的点.则 |MA|+|PA|=|MB|+|PB|. ∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50. 在△PAB中.由余弦定理得 |AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|cos60°=17500.且50＜|AB|.由双曲线定义知M点在以A.B为焦点的双曲线右支上.设此双曲线方程为-=1(a＞0.b＞0). ∵ 2a=50. 4c2=17500. c2=a2+b2. 解之得 a2=625. b2=3750. ∴M点轨迹是-=1(x≥25)在半圆内的一段双曲线弧.于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处.右侧的土沿BP运到P处最省工. 评述:(1)本题是不等量与等量关系问题.涉及到分类思想.通过建立直角坐标系.利用点的集合性质.构造圆锥曲线模型从而确定出最优化区域. (2)应用分类思想解题的一般步骤:①确定分类的对象,②进行合理的分类,③逐类逐级讨论,④归纳各类结果. [例3] 根据我国汽车制造的现实情况.一般卡车高3 m.宽1.6 m.现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道.为保障双向行驶安全.交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶.已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍.若拱宽为a m.求能使卡车安全通过的a的最小整数值. 剖析:根据问题的实际意义.卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4 m到2 m间的道路行驶为最佳路线.因此.卡车能否安全通过.取决于距隧道中线2 m(即在横断面上距拱口中点2 m)处隧道的高度是否够3 m.据此可通过建立坐标系.确定出抛物线的方程后求得. 解:如下图.以拱口AB所在直线为x轴.以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系.由题意可得抛物线的方程为x2=-2p(y-). ∵点A(-.0)在抛物线上. ∴(-)2=-2p(0-).得p=. ∴抛物线方程为x2=-a(y-). 取x=1.6+0.4=2.代入抛物线方程.得 22=-a(y-).y=. 由题意.令y＞3.得＞3. ∵a＞0.∴a2-12a-16＞0. ∴a＞6+2. 又∵a∈Z.∴a应取14.15.16.-. 答:满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14 m. 评述: 本题的解题过程可归纳为两步:一是根据实际问题的意义.确定解题途径.得到距拱口中点2 m处y的值,二是由y＞3通过解不等式.结合问题的实际意义和要求得到a的值.值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的. ●闯关训练 夯实基础

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