摘要：在探求轨迹的过程中.需要注意的是轨迹的“完备性 和“纯粹性 .也就是说既不能多.也不能少.因此.在求得轨迹方程之后.要深入地再思考一下:①是否还遗漏了一些点?是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在?②在所求得的轨迹方程中.x.y的取值范围是否有什么限制? 拓展题例 [例1] 是否存在同时满足下列条件的抛物线?若存在.求出它的方程,若不存在.请说明理由． (1)准线是y轴, (2)顶点在x轴上, (3)点A(3.0)到此抛物线上动点P的距离最小值是2. 解:假设存在这样的抛物线.顶点为(a.0).则方程为y2＝4a(x-a)(a≠0). 设P(x0.y0).则y02＝4a(x0-a). |AP|2＝(x0-3)2+y02 ＝［x0-(3-2a)］2+12a-8a2. 令f(a)＝|AP|2. ①当a＞0时.有x0≥a. 当3-2a≥a即a∈(0.1］时. |AP|2＝f(3-2a).∴a＝1或a＝, 抛物线方程为y2＝4(x-1)或y2＝2(x-). 当3-2a＜a即a＞1时.|AP|2＝f(a). ∴a＝5或a＝1(舍). 抛物线方程为y2＝20(x-5). ②当a＜0时.显然与已知矛盾. ∴所求抛物线方程为y2＝4(x-1)或y2＝2(x-)或y2＝20(x-5)． [例2] 已知椭圆的焦点为F1.F2(1.0).直线x=4是它的一条准线. (1)求椭圆的方程, (2)设A1.A2分别是椭圆的左顶点和右顶点.P是椭圆上满足|PA1|-|PA2|=2的一点.求tan∠A1PA2的值, 的直线与以原点为顶点.A2为焦点的抛物线相交于点M.N.求MN中点Q的轨迹方程. 解:(1)设椭圆方程为+=1(a＞b＞0). 由题设有 c=1. =4. ∴b2=3. 解得 c=1. a=2. 所求椭圆方程为+=1. (2)由题设知.点P在以A1.A2为焦点.实轴长为2的双曲线的右支上. 由(1)知A1.A2(2.0). 设双曲线方程为-=1(m＞0.n＞0). 则 解得 2m=2. m=1. m2+n2=4. n=. ∴双曲线方程为x2-=1.由 +=1. x2-=1. 解得P点的坐标为(.)或(.-).当P点坐标为(.)时.tan∠A1PA2==-4. 同理当P点坐标为(.-)时. tan∠A1PA2=-4. 故tan∠A1PA2=-4. (3)由题设知.抛物线方程为y2=8x. 设M(x1.y1).N(x2.y2).MN的中点Q(x.y). 当x1≠x2时.有 y12=8x1. ① y22=8x2. ② x=. ③ y=. ④ =. ⑤ ①-②.得(y1+y2)=8. 将④⑤代入上式.有·2y=8. 即y2=4(x-1)(x≠1). 当x1=x2时.MN的中点为(1.0).仍满足上式. 故所求点Q的轨迹方程为y2=4(x-1).

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