2．若函数是偶函数，且在

上是减函数，则　 ▲　

1．已知全集，集合，

则　 　▲ 　　　

第 一 部 分

20．[解](1)对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=　　　　　　　　　　　　　 ………………3分　　　

(2)因为函数f(x)=a^x(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点，

所以方程组：有解，消去y得a^x=x,显然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常数T，使a^T=T.　　 　于是对于f(x)=a^x有 故f(x)=a^x∈M.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………8分

(3)当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.

当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有

f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .

因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，

故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，

只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z .

当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立，

即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，

则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z .

综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}　　　 ………………16分

19.解：(1)设从A地运出的油量为a，根据题设，直接运油到B地，往返油耗等于a，

所以B地收到的油量为(1－)a．所以运油率P₁＝＝．………… …3分

而从A地运出的油量为a时，C地收到的油量为(1－)a，

B地收到的油量(1－)(1－)a，所以运油率P₂＝

＝(1－)(1－)＝(+)(1－)．…………………………7分

所以P₂－P₁＝x(1－x)，因为0＜x＜1，所以P₂－P₁＞0，即P₂＞P₁． …………10分

(2)因为P₂＝(+)(1－)≤＝．

当且仅当+＝1－，即x＝时，取“＝”．

所以当C地为AB中点时，运油率P₂有最大值．……………………………16分

18． 解：(1)已知点在半圆上，

所以，又，所以，　 (2分)

当半圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最大，此时的面积取得最大值，

故半圆在点处的切线与直线平行，

所以，又，

所以，又，所以，(4分)

所以曲线的方程为或。　 (6分)

(2)点，点，设，则有

直线的方程为，

令，得，　 所以；　　　 (9分)

直线的方程为，

令，得，　　 所以；　　 (11分)

则，

又由，得，代入上式得

，所以为定值(15分)

17.解：(1)由题意有，设，则有，从而可得．

而，因此，从而．　 ………………6分

(2)　 由(1)得： ，于是，，即.………………9分

另一方面，对于任意实数，存在初始值，使得．13分

所以的取值集合为．　　　　　　　 ………………15分

16. 解：(Ⅰ)证明：侧面，

侧面，，　　　　　　　 ………3分

在中，，则有，　

，，　　　　　 ………………………………………6分

又平面．　　　　 ……………………………………7分

(Ⅱ)证明：连、，连交于，

，，四边形是平行四边形，……………10分

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　………………………11分

又平面，平面，平面．　 ………14分

15. 解：(1)：，

　……………………5分

 (定值)　　　　 　………………8分

(2)由(1)可知A、B为锐角

所以的最大值为，此时三角形ABC为钝角三角形。…………………14分

20. 已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.

(1)函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；　

(2)设函数f(x)=a^x(a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=a^x∈M；

　(3)若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.

　　　　　　　　　　　　　　 高三数学试卷　 第4页 (共4页)

扬州市2010届高三第二次高考模拟考试样卷(一)

　 评分标准及评分建议(正题)