1．以为圆心，为半径的圆的标准方程：　．

3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．

[课堂互动]

自学评价

2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；

1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；

4．求过两点，，且圆心在

直线上的圆的标准方程．

[解]设圆心坐标为，圆半径为，

则圆方程为，

∵圆心在直线上，

∴　　　　 ①

又∵圆过两点，，

∴　　 ②

且　　 ③

由①、②、③得：，

∴圆方程为．

思维点拔：

由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径，反之，由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标准方程．在解具体的题目时，要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识．

3. 圆的内接正方形相对的两个顶点为，，求该圆的方程．

[解]由题意可得为直径，

所以的中点为该圆的圆心即

又因为

∴，

∴圆的标准方程为：

．

2．求以点为圆心，并且和轴相切的圆的方程．

[解]由题意：半径，

所以圆的方程为：．

1.写出下列各圆的方程：

(1)圆心在原点，半径为；

(2)经过点，圆心为．

[解](1)；

(2)．

3. 单位圆：圆心在原点且半径为1的圆；其方程为：．

注意：交代一个圆时要同时交代其圆心与半径．

[精典范例]

例1：分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：

⑴；　　

⑵

⑶

⑷

⑸

[解](如下表)

方程	圆心	半径

点评：本题考察了对圆的标准方程的认识，根据圆的标准方程，可以写出相应的圆的圆心与半径．

例2：(1)写出圆心为，半径长为的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上；

(2)求圆心是，且经过原点的圆的方程．

分析：通过圆心，半径可以写出圆的标准方程．

[解](1)∵圆心为，半径长为，

∴该圆的标准方程为：

．

把点代入方程的左边，

＝右边，

即点的坐标适合方程，

∴点是这个圆上的点；

把点的坐标代入方程的左边，

．

即点坐标不适合圆的方程，

∴点不在这个圆上．

(2)法一：∵圆的经过坐标原点，

∴圆的半径为：

，

因此所求的圆的方程为：

，

即．

法二：∵圆心为，

∴设圆的方程为，

∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程

即，所以，

∴所求圆的标准方程为：

．

点评：本题巩固了对圆的标准方程的认识，第二小题的解题关键在于求出半径，这里提供了两种方法．

例3：(1)求以点为圆心，并且和轴相切的圆的方程；

(2)已知两点，，求以线段为直径的圆的方程．

分析：(1)已知与圆心坐标和该圆与轴相切即可求出半径．(2)根据为直径可以得到相应的圆心与半径．

[解](1)∵圆与轴相切

∴该圆的半径即为圆心到轴的距离；

所以圆的标准方程为：

．

(2)∵为直径，

∴的中点为该圆的圆心即，

又因为

，所以，

∴圆的标准方程为：

．

点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径．对圆的标准方程的有一个加深认识的作用．

例4：已知隧道的截面是半径为的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为，高为的货车能不能驶入这个隧道？

分析：建立直角坐标系，由图象可以分析，

关键

在于

写出

半圆的方程，

对应求出当

时的值，

比较得出结论．

[解]以某一截面半圆的

圆心为原点，半圆的直径

所在的直线为轴，

建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：

将代入得

，

即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道．

点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系，用解析法研究问题．

思考：假设货车的最大的宽度为，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？

解：将代入得，

即限高为．

追踪训练一

2. 圆心在原点，半径为时，圆的方程则为：；