以《课程标准》为纲，华东师范大学教材、海淀区中考说明为本，海淀教师进修复习指导为依据，抓好三基(基础知识、基本技能、基本能力)、重点内容的落实.

注意《课程标准》与《教学大纲》的相同要求与不同点

降低要求之处：

1. 对《距离》只要求点到坐标轴的距离及同一坐标轴上两点间的距离公式(不能转化为一元二次方程根系关系)，不在同一数轴上两点间的距离公式不要求, (可用勾股定理转化为几何问题).

第17章 函数及其图象，第26章 二次函数

(七)典型例题(以下所选例题均出自于2004年各地中考题)

例1①(宁波) 当<m<1时，点P(3m-2，m-1)在　　 (　 D　 )

(A)第一象限　 (B)第二象限　 (C)第三象限　 (D)第四象限

②(衢州) 如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点(1，-2)，“象”位于点(3，-2)，则炮位于点　　 (　 B　 )

A．(1， 3)　 B．(-2，1) C．(-1，2)

D．(-2，2)

简析　 ：主要考查平面直角坐标系中点的位置与点的坐标.

例2①(潍坊) 函数的自变量的取值范围是x≥0且x≠1.

②(大连) 如图，直线与轴交于点(－4 , 0)，则> 0时，的取值范围是　　 (　 A　 )

A、>－4　　 B、>0　　 C、<－4　　　 D、<0

简析　 ：主要考查求自变量的求值范围.

例3①(重庆) 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是－4，则　 的值是　 -8　 .

②(丽水) 已知二次函数y=x²+2x+c的图像经过点(0，1)，则c=　 1　 .

简析　 ：主要考查用定系数法求函数解析式中的系数.

例4①(宁夏) 抛物线y=4x²-3的顶点坐标是　　　　 (　 A　 )

A．(O，-3)　　 B．(-3，0)　　 C．(O，3)　　 D．(3，0)

②(武汉)已知：关于x的一元二次方程ax²+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( C )

A(2，-3)　　 B.(2，1)　　 C(2，3)　　 D．(3，2)

简析　 ：主要考查抛物线的顶点坐标.

例5①(青海省湟中县实验区) 点P既在反比例函数的图像上，又在一次函数的图像上，则P点的坐标是(1,-3).

②(昆明) 如图，已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图像的顶点P的横坐标是4，图像交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4．那么AB的长是　　 (　 C　 )

A．4+m　　 B．m　 C．2m-8　　 D．8-2m．

简析　 ：主要考查函数图象与坐标轴的交点、函数图象与图象之间的交点以及坐标轴两点间的距离.

例6①(河南)如图，函数图象①、②、③的表达式应为(　 C　 )． 　 (A) y＝－，y＝x+2，y＝－； 　 (B) y＝，y＝－x+2，y＝； 　 (C) y＝－，y＝x－2，y＝； 　 (D) y＝－，y＝x－2，y＝－；

②(呼和浩特) 如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是 ①y=ax²；②y=bx²．；③y=cx²；④y=dx²．则a、b、c、d的大小关系为 .　 (　 A　 )

A．a>b>c>d　 B．a>b>d>c　 C．b>a>c>d　 D．b>a>d>c

简析　 ：主要考查函数图象形状、位置与解析式系数之间的关系.

例7①(嘉兴舟山) 关于二次函数y＝(x+2)²－3的最大(小)值，叙述正确的是( D )

(A)当x＝2时，有最大值－3　　　 (B)当x＝－2时，有最大值－3　

(C)当x＝2时，有最小值－3　　　 (D)当x＝－2时，有最小值－3

②(上海)　 在函数y=(k>0)的图象上有三点A₁( x₁,y₁)、A₂(x₂ y₂)、A₃(x₃,y₃)已知x₁<x₂<0<x₃,则下列各式中,正确的是( C )

A、y₁<0<y₂ B、y₃<0<y₁ 　C、y₂<y₁ <y₃D、y₃<y₁<y₂

③(黄冈市) 某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：

则y关于x的函数图象是(　 D　 )．

④(嘉兴舟山) 如图，等腰直角三角形ABC(∠C＝Rt∠)的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4cm，CA与MN在直线l上. 开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到C点与N点重合时为止. 设△ABC与正方形MNPQ的重叠部分(图中阴影部分)的面积为ycm²，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致是( B )

简析　 ：主要考查求函数解析式，函数图象性质及其简单应用，其中第③题体现了学科间的渗透，是近年来中考试题的热点.

例8①(黄冈) 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：

(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中?(讲课开始后第25分钟比讲课开始后第5分钟注意力更集中)

(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意万最集中?能持续多少分钟?(10分钟；10分钟)

(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?(能)

简析 ：本题是函数分类讨论的综合题，主要考查各段函数的性质.

②(济南) 已知抛物线y= - x²+(6-)x+m-3与x轴有A、B两个交点，且A、B两点关于y轴对称．

(1)求m的值；(m=6)　　

(2)写出抛物线解析式及顶点坐标；[y=- x²+3；(0,3)]

(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来．[方程- x²+(6-)x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等)]

简析　 ：本题是函数与方程、不等式相结合的综合题，考查二次函数中主要知识点有二次函数的系数、抛物线的解析式以及顶点坐标.

③(杭州) 二次函数的图象的一部分如右图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，1).

(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由；(-l<a<O)

(2)设此二次函数的图象与 轴的另一个交点为C，

当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求的值.( a=)

　 简析　 ：主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数与三角形面积相结合.

④(金华) 如图在平面直角坐标系内，点A与C的坐标分别为(4，8)，(0，5)，过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连结CD，过点E作直线EF∥CD，交AC于点F.

(1)求经过点A，C两点的直线解析式；(y=x+5)

(2)当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、b的值；若不能，请说明理由；

(能；k=,b=-)

(3)如果将直线AC作上下平移，交Y轴于点Cˊ，交AB于点Aˊ，连结DCˊ，过点E作EFˊ∥DCˊ，交AˊCˊ于点Fˊ,那么能否使四边形CˊDEF成为正方形？若能，请求出此时正方形的面积；若不能，请说明理由.

(向下平移不能；向上平移能，面积为)

简析　 ：本题是函数与方程，函数与几何中的相似三角形、四边行、面积等有关知识相结合的综合题.

⑤(台州温州) 已知抛物线y=－x²+2(m－3)x+m－1与x轴交于B,A两点,其中点B在x轴的负半轴上,点A在x轴的正半轴上,该抛物线与y轴于点C.

(1)写出抛物线的开口方向与点C的坐标(用含m的式子表示)；

[开口向下；C(0,m-1)]

(2)若tg∠CBA=3,试求抛物线的解析式；(y=-x²+2x+3)

(3)设点P(x,y)(其中0＜x＜3＝是(2)中抛物线上的一个动点,试求四边形AOCP的面积的最大值及此时点P的坐标. [；(,)]

简析　 ：本题是函数与方程，函数与几何中的三角形、四边形、面积，三角函数等有关知识相结合的综合题. 考查函数中的主要知识点：①抛物线的开口方向与坐标轴的交点；②抛物线上点的坐标；③二次函数的最大值.

⑥(昆明) 已知：如图11，⊙A与⊙B外切于点C，DE是两圆的一条外公切线，切点分别为D、E．

　 (1)判断△DCE的形状并证明；(直角三角形)

　 (2)过点C作CO⊥DE，垂足为点O，以直线DE为x轴、直线DC为y轴建立直角坐标系，且OE=2，OD=8,求经过D、C、E三点的抛物线的函数解析式，并求出抛物线的顶点坐标；

[y=-x²-x+4；(-3, )]

　 (3)这条抛物线的顶点是否在连心线AB上?如果在，请你证明；如果不在，说明理由．(在连心线上)

简析　 ：本题是函数与相似三角形、圆等有关知识相结合的数形综合题. 考查函数中主要知识点有：①一次函数、二次函数的解析式；②抛物线的顶点坐标；③点是否在函数图象上.

(六)复习方法导引

1、平面直角坐标系的建立，使数形结合的数学思想方法成为主线，要熟悉各类函数图象的位置与系数之间的关系，善于把“数”(比如坐标、解析式)与“形”(比如点、图象)有机的结合起来，顺利实现互相转化；

2、函数本身就是一种重要的数学思想.应用时首先要找准两个相关的变量，分析它们之间的联系，用含有两个变量的等式表达出来，最终化简变形为解析式的一般形式，利用函数性质解决问题；

3、如果把函数中的两个变量视为未知数，把常量视为系数，则一个解析式就是一个方程. 所以，方程思想常与函数思想并称. 函数图象与x轴的交点问题，等价于函数值为零时的方程的解的问题；函数图象与y轴的交点问题，等价于自变量为零时的方程的解的问题，所以常数项就是函数图象与y轴的交点的纵坐标；两个函数图象的交点问题，等价于两个解析式组成的方程组的解的问题；

4、待定系数法是求函数解析式的常用方法.一般分成设(解析式)、列(方程或者方程组)、解(这个方程或者方程组)、代(入所设解析式)四个步骤；

5、掌握一些函数的变量数值变化规律，比如在一个表中的两个变量x、y，若x、y的乘积一定，则这两个变量为反比例函数关系；若x、y的比值一定，则这两个变量为正比例函数关系；当x均匀变化时，y也均匀变化，则这两个变量为一次函数关系.

(五)知识要点聚焦

1、平面直角坐标系中，每一个点都与有序实数对一一对应；x轴上的点表示为(x, 0)，y轴上的点表示为(0, y)，坐标轴上的点不属于任何象限；点(a, b)关于x轴的对称点为(a, -b)关于y轴的对称点为(-a, b)， 关于原点的对称点为(-a, -b).

2、函数自变量的取值范围通常考虑：

(1)分母不等于零；

(2)偶次被开方数大于等于零；

(3)使函数成立的图象存在条件、实际意义等.

3、一次函数:

(1)解析式：y=kx+b(k、b是常数，k≠0)，当b=0时，它是正比例函数.

(2)图象性质：

①图象是一条直线；

②当k>0时，图象一定经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象一定经过第二、四象限，y随x的增大而减小；

③直线y=kx+b与y轴的交点坐标为(0，b)；

4、反比例函数

(1)解析式为 y = (k≠0).

(2)图象性质：

①图象为双曲线；

②当k>0时，双曲线的两个分支在第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两个分支在第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大.

5、二次函数：

(1)解析式：

①一般式： y=ax²+bx+c(a≠0)；

②顶点式(配方式)： y=a(x + m)²+k(a≠0)；

③两根式(分解式)： y=a(x–x₁)(x–x₂)， (a≠0，x₁、x₂是抛物线与x轴交点的横坐标)；

(2)图象(抛物线)位置与a、b、c的关系(以下结论的逆命题也成立)：

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；︱a︱ 决定了抛物线开口的宽度；

②c决定抛物线与y轴交点的位置：当c>0时，图象与y轴交点在y轴的正半轴上；当c<0时，图象与y轴交点在y轴的负半轴上;　 当c=0时，图象过原点；

③a、b共同决定抛物线的对称轴x = －的位置：若a、b同号，则对称轴在y轴左侧；若a、b异号，则对称轴在y轴右侧；若b=0，则对称轴是y轴；

④抛物线一般式的顶点坐标为(- 　，)，对称轴是直线是x=- ；顶点式的顶点坐标为(－m、k)，对称轴是直线x=-m

⑤△=b²- 4ac决定抛物线与x轴交点情况：当△>0时，抛物线与x轴有两个交点；当△=0时，抛物线与x轴有一个交点；当△﹤0时，抛物线与x轴没有交点.

(3)性质(概括)：

①二次函数的增减性；

②二次函数的最大值、最小值；

③二次函数的值何时为零、为正、为负.

(三)中考热点分析与预测

本部分知识是中考的重点内容，在各种题型中都经常出现，大约占到20%左右的分值比重. 预计在2005年的中考中，函数的地位将会得到进一步的巩固，命题时着重于应用性、综合性，同时呈现出图象、图形、表格等多种信息表达形式. 这样命题也是向课程标准靠拢的必然趋势.

(四)知识网络

(二)点击重、难点

1、重点是一次函数、反比例函数与二次函数的概念、图象与性质及其简单应用.

2、难点是函数的本质意义与多种表示方法之间的联系.

(一)中考要求

1、理解平面直角坐标系的有关概念，知道各象限及坐标轴上的点的坐标特征，能确定一点关于x轴、y轴或原点的对称点的坐标.

2、会从不同角度确定自变量的取值范围.

3、会用待定系数法求函数的解析式.

4、明确一次函数(含正比例函数)、二次函数和反比例函数的图象特征，知道图象形状、位置与解析式系数之间的关系.

5、会用一次函数和二次函数(结合方程、不等式等)解决一些实际问题.

(二)近年来中考函数试题的考查重点和热点回顾与分析

1、平面直角坐标系

[2004-13] 在平面直角坐标系中，点(3，-5)在第　 四　 象限.

2、求简单函数自变量的取值范围

[2002-16] (02湖州市)函数y=中，自变量x的取值范围是 x≥0且x≠2

[2003-3] 函数y=中，自变量x的取值范围是(　 B　 )

　 　　A．x≠3　　 B．x≥3　　 C．x>3　　 D．x≤3

3、求简单函数的函数值

[2003-2] 当x=0时，函数y=2x²+1的值是(　 A　 )

　 　　A．1　　 B．O　　 C．3　　 D．　 一1

4、待定函数的系数

[2003-20] 如图，直线y=kx-2(k>0)与双曲线　　 y= 在第一象限内的交点为R，与x轴、y轴的交点分别为P、Q．过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ与△PRM的面积相等，则k的值等于．

[2004-15] 已知双曲线y=经过点(1，-2)，则k的值等于 －2　 .

5、抛物线的顶点坐标

[2003-4] 抛物线y=2(x-1)²+1的顶点坐标是(　 A　 )

A．(1，1)　 B．(1，一1)　 C．(一l，1)　 D．(一l，一1)

[2004-3] 抛物线y=2(x-3)²的顶点在( C )

A. 第一象限　　 B. 第二象限　　 C. x轴上　　　 D. y轴上

6、函数图象与图象之间的交点以及与坐标轴的交点

[2000-10] 不论m为何实数，直线y＝x﹢2m与y=－x﹢4的交点不可能在( C )

　　 A. 第一象限　　 B. 第二象限　 C. 第三象限　　 D. 第四象限

[2002-10] 已知抛物线y＝－x²+bx+c(c<0)经过点(c，0)，以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S，则S可表示为(　 A　 )

A.(2+b)(b+1)　　 B.c (1-c)　　 C.(b+1)²　　 D.

7、求函数的解析式

[2000-23] 已知：抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为(1，－4)，

　 (1)求抛物线的解析式；(y=x²－2x－3)

　 (2)求该抛物线与坐标轴的交点坐标. [(-1，0)(3，0)(0，-3)]

8、函数的图象与性质及其简单应用

[2000-8] 如果k﹥0，那么函数y=的图象大致是( C )

　　 [2003-9] 小王于上午8时从甲地出发去相距50千米的乙地．下图中，折线OABC是表示小王离开甲地的时间t(时)与路程S(千米)之间的函数关系的图象．根据图象给出的信息，下列判断中，错误的是(　 D　 )

A．小王11时到达乙地

B．小王在途中停了半小时

C．与8：00-9：30相比，小王在10：00-

11：00前进的速度较慢

D．出发后1小时，小王走的路程少于25千米

[2004-9] 已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)是抛物线上的点，P₃(x₃，y₃)是直线l上的点，　　　　　 且-1＜x₁＜x₂，x₃＜-1，则y₁，y₂，y₃的大小关系为( D )

A. y₁＜y₂＜y₃ 　　B. y₃＜y₁＜y₂

C. y₃＜y₂＜y₁D. y₂＜y₁＜y₃

9、函数问题的综合应用

①函数与方程、不等式相结合

[2001-25]某日通过某公路收费站的汽车中，共有3000辆次缴了通行费，其中大车每辆次缴通行费10元，小车每辆次缴通行费5元.

　　 (1)设这一天小车缴通行费的辆次数为x，总的通行费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；[y=30000-5x(0≤x≤3000)]

　　 (2)若估计缴费的3000辆次汽车中，大车不少于20%且不大于40%，试求该收费站这一天收费总数的范围.( 18000≤y≤21000)

②函数与特殊三角形、相似三角形相结合

[2001-27]已知如图,D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，设DF=x.

(1)求△EDF的面积y与x的函数关系式和自变量x的取值范围；[y=-x²+2x(0﹤x﹤2)]

(2)当X为何值时，△EDF的面积最大？最大面积是多少？(；)

(3)若△DCF与由E，F，D三点组成的三角形相似，求 BD的长.(或)

③函数与方程、特殊三角形、相似三角形、圆相结合.

[2002-27] 如图，已知P、A、B是x轴上的三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且PA：AB=l：2，以AB为直径画⊙M交y轴的正半轴于点C．

(1)求证：PC是⊙M的切线；

(2)在x轴上是否存在这样的点Q，使得直线QC与过A、C、B三点的抛物线只有一个交点?若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由；[Q点存在；(-，0)]

(3)画⊙N，使得圆心N在x轴的负半轴上，⊙N与⊙M外切、且与直线PC相切于D．问将过A、C、B三点的抛物线平移后能否同时经过P、D、A三点?为什么?(能)

④函数与相似三角形、圆相结合

[2003-26] 已知如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于B(1，O)、(4，0)两点，与y轴的正半轴相交于A点，过A、B、C三点的⊙P，与y轴相切于点A，M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交抛物线于N，交⊙P于D．

　 (1)填空：A点坐标是 (0，2) ，⊙P半径的长是 　，a=，b=-，c= 2 ；

　 (2)若S_△BNC：S_△AOB=15：2，求N点的坐标；(6，5)

(3)若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB·MD的值．(或)

⑤函数与全等三角形相结合

[2004-24] 已知如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，过C作CD⊥x轴，垂足为D.

(1)求点A、B的坐标和AD的长.

　[A(1，0)，B(0，2),AD=2]

(2)求过B、A、D三点的抛物线的解析式.　　

[y=(x-1)(x-3)]

由试题的构成可以看出：

(1)试题紧扣教学纲要和教材，大部分试题直接来自教材或由教材例、习题改编而成，但又新于课本中的例、习题，无偏题和怪题，具有较好的导向作用.

(2)试题按照《浙江省中考说明》各知识点的考试要求进行命题，试题着重考查学生的“三基”，又考查学生的综合应用知识的能力.

(3)考核的重点基本集中在平面直角坐标系点的坐标和点的位置；函数自变量取值范围；函数值；正反比例函数、一次函数和二次函数图象与性质及其综合应用.