例1 下列函数关系中，哪些是反比例函数？

(1)已知平行四边形的面积是12cm²，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系；

(2)压强p一定时，压力F与受力面积s的关系；

(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系．

(4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式．

分析 确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合(k是常数，k≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．

解 (1)，是反比例函数；

(2)F＝ps，是正比例函数；

(3)，是反比例函数；

(4)，是反比例函数．

例2 当m为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式．

分析 由反比例函数的定义易求出m的值．

解 由反比例函数的定义可知：2m－2＝1，．

所以反比例函数的解析式为．

例3 将下列各题中y与x的函数关系与出来．

(1)，z与x成正比例；

(2)y与z成反比例，z与3x成反比例；

(3)y与2z成反比例，z与成正比例；

解 (1)根据题意，得z＝kx(k≠0)．

把z＝kx代入，得，即．因此y是x的反比例函数．

(2)根据题意，得(k₁，k₂均不为0)．

把代入，得，即．

因此y是x的正比例函数．

(3)根据题意，得．把，得

，即y＝．因此y是x的反比例函数．

例4 已知y与x²成反比例，并且当x＝3时，y＝2．求x＝1.5时y的值．

分析 因为y与 x²成反比例，所以设，再用待定系数法就可以求出k，进而再求出y的值．

解 设．因为当x＝3时，y＝2，所以，k ＝18．

当x＝1.5时，．

例5 已知y＝y₁+y₂， y₁与x成正比例，y₂与x²成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于19．求y与x间的函数关系式．

分析 　y₁与x成正比例，则y₁＝k₁x，y₂与x²成反比例，则，又由y＝y₁+y₂，可知，，只要求出k₁和k₂即可求出y与x间的函数关系式．

解 因为y₁与x成正比例，所以 y₁＝k₁x；

因为y₂与x²成反比例，所以 ，

而y＝y₁+y₂，所以 ，

当x＝2与x＝3时，y的值都等于19．

所以　 解得

所以．

3.要求出反比例函数的解析式，只要求出k即可．

2.反比例函数的解析式又可以写成：( k是常数，k≠0)．

2.自变量的取值是x＞0．

上述两个函数都具有的形式，一般地，形如(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function)．

说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例y＝kx，即，k是常数，且k≠0；反比例函数，则xy＝k，k是常数，且k≠0．可利用定义判断两个量x和y满足哪一种比例关系．

1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数．即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大；

2.自变量v的取值是v＞0．

问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x(米)，求另一边的长y(米)与x的函数关系式．

分析 根据矩形面积可知

　　　 xy＝24，

即　　

从这个关系中发现：

问题1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系．

分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．

设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时，从家里到镇上的时间是t小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以

从这个关系式中发现:

1.路程一定时，时间t就是速度v的反比例函数．即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大．

两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积一定，这两个数的关系叫做反比例关系．

3.如图，点P是直线与双曲线在第一象限内的一个交点，直线与x轴、y轴的交点分别为A、C，过P作PB垂直于x轴于B，若AB+PB＝9．

(1)求k的值；(2)求△PBC的面积．

2.已知关于x的一次函数y＝mx+3n和反比例函数图象都经过点(1,－2)，求这个一次函数与反比例函数的解析式．