例2　　　　　　　　 求过定点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

误：设直线在两坐标轴上的截距为，故所求的直线方程为，即．

将点代入，得．

故所求直线方程为．

析：本题由于忽视了“零截距”而导致错误．事实上，当两截距均为零时也满足条件，所以应增加截距均为零的情况．当直线在两坐标轴上的截距为零时，设所求的直线方程为，即．所以，所求直线方程为或．

事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”，“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的倍()”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“零截距”的情况．当然本题可设直线方程为，分别令解得直线在两坐标轴上的截距，由其相等解得，从而得到直线方程．

例1　　　　　　　　 求过定点且与坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程．

误：设所求的直线方程为．

直线过点，

，即，　　　①

又由已知，可得，即，　　②

由①，②可得解得．

故所求直线方程为．

析：本题由于对截距的概念不清，混淆了“距离”与“截距”的概念，误将直线在轴和轴上的截距作为距离使用而导致错误．事实上，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为而不是．故应有③，由①，③易得所求直线方程为，或，或．

1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将采用什么方法？

分析：首先建立直角坐标系，画出散点图(如图2所示)，其次根据散点图，我们可以设想函数模型．可能为一次函数型：；

二次函数型：；

幂函数型：；指数函数型：，

最后用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数．

解：设月产量为万件，月份数为，建立直角坐标系，

可得．

(1)　　　 对于直线，将两点的坐标代入，有　解得，故．

将两点的坐标代入，得，与实际误差为0.1；，与实际误差为0.03．

(2)　　　 对于二次函数，将三点的坐标代入，

有解得，

故．

将点的坐标代入，得，与实际误差为0.07．

(3)　　　 对于幂函数型，将两点的坐标代入，

得

解得，

故．

将两点的坐标代入，得，与实际误差为0.05；

，与实际误差为0.11．

(4)　　　 对于指数函数型，将三点的坐标代入，

有

解得．

故．

将点的坐标代入，得，与实际误差为0.02．

比较上述4个模拟函数的优劣，既要考虑到与实际误差最小，又要考虑到生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性．所以可以认为最佳，一是误码差最小，二是由于新建厂，开始随着技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时间后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而恰好反映了这种趋势，因此选用比较接近客观实际．

例2　　　　 三个平面可以将空间分成几个部分？

解析：(1)三个平面平行，画成如图3，得知分成4个部分；

(2)两个平面平行时，画成如图4，得知分成6个部分；

(3)三个平面交于同一条直线，画成如图5，得知分成6人部

分；

(4)三个平面交于三条直线，画成如图6和图7，得知分成7

个或8个部分．

例1　　　　 画平面和两个平行平面相交的

立体图形，如图1．

画图步骤：首先画出图1中的“ ”图，再从两个交点处出发，画出两条平行等长线段，画出两条平行等长线段，继而画出6条同方向的平行等长线段，连结成三个平面，最后把被前面的平面遮住的线段改成虚线，过程如图2所示．

例3 方程在区间(是整数，且)上有一个根，则　　 .

解　 令，作出函数图象.

∵,,,

∴方程在区间内有一根.

∵函数在上都是增函数；又当时，恒成立.

故方程在上只有一解，又是整数，且，∴，故.

点评：一般解决此类逆向问题的三步曲是：①先通过观察函数图象再估算出根所在的区间；②根据方程根的存在性定理证明根是存在的；③最后根据函数的性质证明根是唯一的.

例2 若方程有两个解，则的取值范围是(　 )

(A)　 (B) 　(C)　 (D)

解　 原方程移项得，令，.

当时，在同一直角坐标系内作出

函数,的图象，由图观察得

原方程有两个解，从而排除(B)(D)；

又当时，原方程为，解

得，只有一解，从而排除(C)，故选(A).

点评：若令，则很难作出该函数的图象. 一般解决此类逆向问题的三步曲是：①先移项使之分解为两个简单函数；②在同一坐标系内作出这两个函数图象；③数它们交点的个数即为方程根的个数.

例1 方程必有一个根的区间是(　 )

(A)　 (B) 　(C)　 (D)

解　 原方程移项得，令，∵ ，，即，∴方程必有一个根在区间内，故选(A).

点评：利用方程根的存在性定理求解三步曲是：①先移项使方程右边为零，再令方程左边为函数；②求区间两端点的函数值；③若函数在该区间上连续且，则方程在该区间内必有根.

3． 多转化――生熟变通

条件给出的内容，有时具有很强的隐蔽性，我们时常会感到很生疏．为揭示其隐蔽性，需对条件进行转化，经过几次转化后生疏的变为熟悉的，解法自然也就产生了．

例3　　　　 对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，称为函数的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和．

(1)　　　 求证：；

(2)　　　 若，且，求实数的取值范围．

解析：本题中的条件有三个：①若，则称为函数的“不动点”；②若，则称为函数的“稳定点”；③“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和．把条件转化一下，就是，，因此

(1)　　　 若，则成立；

若，设，则，显然，即，那么；

(2)　　　 由，得方程有实根，

故有，或解得．

由，得方程，即有实根，又由可知，方程左边必含有，于是，　　　由于，因此方程要么没有实根，要么实根是方程的根．

若方程没有实根，则，或得；

若方程有实根，

则，

那么．

故实数的取值范围为．

点评：“不动点”、“稳定点”及这些点构成的集合，这么多的新东西，其实是变相的告诉你两个集合．当你完成对条件的转化后，求解就变得简单多了．

2． 抓特征――诱发联想

特征是题目的“个性”，是“此类题”区别于“彼类题”的关键．抓住特征，可以诱发

联想．通过对往日解题经验的回顾，达到求解的目的．

例2　　　　 设函数，求最小值的最小值．

　解析：本题的特征是：①含绝对值；②最小值的最最小值．抓住这两个特征我们会想到首先去绝对值符号，由于去绝对值符号时要分与两种情况，所以应该是分段函数．于是：

(1)　　　 若，则．

当时，在上是增函数，那么；

当时，在上是减函数，在上是增函数，

那么．

(2)若，则．

当时，在上是减函数，在上是增函数，

那么．

当时，在上是减函数，那么．

由(1)，(2)得

结合图形可知，的最小值为1．

　点评：本题表面上看好象较＂温柔＂，其实＂柔中有刚＂．当我们抓住特征去掉绝对值以后，求解的关键变成了对二次函数在部分区间上的单调性的判断．由于含有参变量，因此必须小心谨慎才行．