16. (2011江苏苏州，28,9分)(本题满分9分)如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l₁上，OA边与直线l₁重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O₁处，点B运动到了点B₁处；小慧又将三角形纸片AO₁B₁绕B₁点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A₁处，点O₁运动到了点O₂处(即顶点O经过上述两次旋转到达O₂处).

小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO₁和弧O₁O₂，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO₁的面积、△AO₁B₁的面积和扇形B₁O₁O₂的面积之和.

小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l₂上，OA边与直线l₂重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O₁处(即点B处)，点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₁处；小慧又将正方形纸片AO₁C₁B₁绕B₁点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：

问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l₂围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；

问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是π？

请你解答上述两个问题.

[答案]解问题①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO₁、弧O₁O₂以及弧O₂O₃，

∴顶点O运动过程中经过的路程为

.

顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l₂围成图形的面积为

=1+π.

正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为

.

问题②：∵方形OABC经过4次旋转，顶点O经过的路程为

∴π=20×π+π.

∴正方形纸片OABC经过了81次旋转.

15. (2011广东株洲，23，8分)如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.

(1)求证： OP=OQ；

(2)若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

[答案](1)证明：四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，　　　　　　　　　　　　　

∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，

∴△POD≌△QOB，　　　　　　　

∴OP=OQ。　　　　　 　　　　　　

(2)解法一： PD=8-t　

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，

∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.　　　　　　　　

当四边形PBQD是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，

∴△ODP∽△ADB，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴，即，　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.　 　　　　　　　

解法二：PD=8-t　　　

当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm，

∴，　 ∴，

解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.　

14. (2011甘肃兰州，27，12分)已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。

(1)求证：四边形AFCE是菱形；

(2)若AE=10cm，△ABF的面积为24cm²，求△ABF的周长；

(3)在线段AC上是否存在一点P，使得2AE²=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。

[答案](1)由折叠可知EF⊥AC，AO=CO

∵AD∥BC

∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO

∴△AOE≌△COF

∴EO=FO

∴四边形AFCE是菱形。

(2)由(1)得AF=AE=10

设AB=a，BF=b，得

a²+b²=100 ①，ab=48 ②

①+2×②得　 (a+b)²=196，得a+b=14(另一负值舍去)

∴△ABF的周长为24cm

(3)存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意。

证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE

∴△AOE∽△AEP

∴，得AE²=AO·AP即2AE²=2AO·AP

又AC=2AO

∴2AE²=AC·AP

13. (2011福建泉州，21，9分)如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁．

(1)证明：△A₁AD₁≌△CC₁B；

(2)若∠ACB＝30°，试问当点C₁在线段AC上的什么位置时，四边形ABC₁D₁是菱形. (直接写出答案)

[答案]

∵矩形ABCD　

∴BC=AD,BC∥AD

∴∠DAC=∠ACB

∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁．

∴∠A₁=∠DAC,A₁D₁=AD,AA₁=CC₁

∴∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB。

∴△A₁AD₁≌△CC₁B(SAS)。……………6分

当C₁在AC中点时四边形ABC₁D₁是菱形，……………9分

12. (2011浙江省嘉兴，23，12分)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．

(1)如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状(不要求证明)；

(2)如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=(0°＜＜90°)，

① 试用含的代数式表示∠HAE；

② 求证：HE=HG；

③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

[答案](1)四边形EFGH是正方形．

　　(2) ①∠HAE=90°+a．

在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a；

∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，

∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－(180°－a)＝90°+a．

②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，

在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，

∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD+∠ADC+∠CDG＝90°+a＝∠HAE．

∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．

③四边形EFGH是正方形．

由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG(已证)，∴GH=GF=FG=FE，∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG(已证)，∴∠DHG=∠AHE，又∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE＝90°，∴四边形EFGH是正方形．

11. (2011浙江衢州，22,10分)如图，中，是边上的中线，过点作，过点作与分别交于点、点，连接

求证：;

当时，求证：四边形是菱形；

在(2)的条件下，若，求的值.

[答案].证明：(1)

解法1：因为DE//AB,AE//BC,所以四边形ABDE是平行四边形，

所以AE//BD且AE=BD，又因为AD是边BC上的中线，所以BD=CD，所以AE平行且等于CD，所以四边形ADCE是平行四边形，所以AD=EC.

解法2：

　　　　 又

(2)解法1：

证明是斜边上的中线

　　　　 又四边形是平行四边形

　　　　 四边形是菱形

解法2

证明：

　　　 又四边形是平行四边形

　　　　 四边形是菱形

解法3

证明：

　　　 四边形是平行四边形

又

四边形是菱形

解法1

解：四边形是菱形

的中位线，则

解法2

解：四边形是菱形

10．(2011宁波市，23，8分)如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G．

(1)求证：DE∥BF；

(2)若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．

解：(1)□ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD

∵E、F分别为AB、CD的中点

∴DF＝DC，BE＝AB

∴DF∥BE，DF＝BE

∴四边形DEBF为平行四边形

∴DE∥BF

(2)证明：∵AG∥BD

∴∠G＝∠DBC＝90°

∴DBC 为直角三角形

又∵F为边CD的中点．

∴BF＝DC＝DF

又∵四边形DEBF为平行四边形

∴四边形DEBF是菱形

9. (2011 浙江湖州，22，8) 如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．

(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；

(2) 若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长 ．

[答案](1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，

∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形.

(2)∵四边形AECF是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝BC＝5.

8. (2011山东烟台，24,10分)已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD²+CD²＝2AB²．

(1)求证：AB＝BC；

(2)当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．

[答案](1)证明：连接AC，

∵∠ABC＝90°，

∴AB²+BC²＝AC².

∵CD⊥AD，∴AD²+CD²＝AC².

∵AD²+CD²＝2AB²，∴AB²+BC²＝2AB²，

∴AB＝BC.

(2)证明：过C作CF⊥BE于F.

∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形.

∴CD＝EF.

∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.

∴AE＝BF.

∴BE＝BF+EF ＝AE+CD.

7. (2011山东威海，24，11分)如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．

(1)若∠1=70°，求∠MNK的度数．

(2)△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．

(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．

(备用图)

[答案]　 解：∵ABCD是矩形，

∴AM∥DN，

∴∠KNM=∠1．

∵∠KMN=∠1，

∴∠KNM=∠KMN．

∵∠1=70°，

∴∠KNM=∠KMN=70°．

∴∠MNK=40°．

(2)不能．

过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1,

由(1)知∠KNM=∠KMN．

∴MK=NK．

又MK≥ME,

∴NK≥1．

∴．

∴△MNK的面积最小值为，不可能小于．

(3)分两种情况：

情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．

设MK=MD=x，则AM=5-x，由勾股定理，得

,

解得，．

即．

∴．　　　　　　　　　　　　　　 (情况一)

情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．

设MK=AK= CK=x，则DK=5-x，同理可得

即．

∴．

∴△MNK的面积最大值为1.3．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (情况二)